Dúvida em Limites

por **Rafael-Miranda** » Dom Abr 26, 2015 12:57

Bom dia!
Gostaria de pedir a ajuda de alguém para resolver essa questão.
Antes de mais nada, gostaria de dizer que se trata de provar o limite por épsilon e delta.
Estou tendo uma dificuldade enorme, pois envolve restrição de intervalo e eu ainda não consegui compreender essa parte do assunto.
Aqui vai: limite de 9/x+1 quando x tende a 2=3

Comecei assim: Queremos provar que para todo £>0, existe um s>0 tal que 0<x-2<s, então 9/x+1 -3< £.

|(9/x+1) -3| < £ ==> |9-3x-3/x+1| < £ ==>|-3x + 6/x+1| < £ ==> |-3(x-2)/x+1| < £

Como na desigualdade há (x+1) do qual nada se conhece, necessita-se restringir s de modo que encontremos um desigualdade envolvendo-o.

Tomei s < ou = 1 e fiz: -s< x-2 < s ===> -s+2 < x < s+2 ===> 1< x < 3
logo 2< x+1 < 4

Agora, se 0< x-2 < s e x+1<4 , então:

|-3(x-2)/x+1| < 4s ===> |-3| |x-2/x+1| <4s

Nessa parte foi que eu travei. Não sei se em alguma parte eu errei.
Por favor, me ajudem.

Caso possam explicar um pouco sobre como proceder no caso de se fazer necessário restringir, eu iria agradecer muito.

por **e8group** » Dom Abr 26, 2015 19:33

A ideia a princípio é escolhermos delta positivo de modo a minorar |x+1|

por um numero positivo , por conseguinte majoraremos $\frac{1}{|x+1|}$ .

Observe que se 0 < |x-a| < r

então $|a-b| - |x-b| \leq |- (x -b) +(a-b) | = |x-a| < r$ donde tem-se |x-b| > |a-b| -r

, substituindo a e b pelos valores em interesse , vamos obter |x+1| > 3 - r

. Veja que sempre que tomarmos 0<r <3 , vamos ter a minoração desejada , destes r> 0 , satisfazendo a propriedade , restringiremos tal arbitrariedade , escolhendo-se um particular(aqui é o nosso $\delta > 0$ ) para cada $\epsilon > 0$ dado, de modo que $| \frac{9}{x-1} - 3 | < \epsilon$ sempre que $0 < |x-2| < \delta$ .

Como de costume , vamos rascunhar , estimar o quao pequeno deve ser o delta ... (A organização das ideias e formalização fica como exercício p vc )

Ora , $| \frac{9}{x-1} - 3 | = 3 \frac{|x-2|}{|x+1|} = 3 \cdot \frac{1}{|x+1|} \cdot |x-2|$ . Assim, se $0<| x-2| < \delta$ , vamos ter

$| \frac{9}{x-1} - 3 | < 3 \cdot \frac{1}{3- \delta} \cdot \delta$ . Gostaríamos que delta fosse tal que $3 \cdot \frac{1}{3- \delta} \cdot \delta \leq \epsilon$ , e sendo temos , $3 \cdot \frac{1}{3- \delta} \cdot \delta \leq \epsilon \iff 3 \delta \leq 3 \epsilon - \delta \epsilon \iff \delta (3 + \epsilon )\leq 3 \epsilon \iff \delta \leq \frac{3 \epsilon}{\epsilon + 3}$ .