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Limite com raiz enésima - como calcular?

Limite com raiz enésima - como calcular?

Mensagempor Brunorp » Ter Mar 24, 2015 08:56

Saberiam ajudar a calcular o limite abaixo sem utilizar o teorema de l'Hospital? Acredito que devamos fazer alguma operação com logarítimos para reorganizar a expressão, mas não encontrei o resultado.

Obrigado!

\lim_{x-a}\left(\sqrt[m]{x}-\sqrt[m]{a} \right)/\left(x-a \right)
Brunorp
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Re: Limite com raiz enésima - como calcular?

Mensagempor adauto martins » Qui Mar 26, 2015 16:17

faz-se y=\sqrt[n]{x}\Rightarrow x={y}^{n}e b=\sqrt[n]{a}\Rightarrow a={b}^{n}...logo:
L=\lim_{y\rightarrow b}(y-b)/({y}^{n}-{b}^{n})=\lim_{y\rightarrow b}(y-b)/(y-b)({y}^{n-1}+{y}^{n-2}+...+{y}^{2}{b}^{n-3}+y{b}^{n-2}+{b}^{n-1})=\lim_{y\rightarrow b}1/({y}^{n-1}+...+{b}^{n-1})=1/({b}^{n-1}+...+{b}^{n-1})=1/n{b}^{n-1}=1/n(\sqrt[n]{a})^{n-1}
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.