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Integral para calcular o volume

Integral para calcular o volume

Mensagempor neoreload » Sex Mar 13, 2015 05:11

Pessoal estou perdido nessa questão:

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas seguintes curvas:

x + y = 8, x = 0, y = 0

Resposta: \frac{512\pi}{3}

Estou bem no inicio da disciplina, se possível colocar o passo de maneira simples, pq fiquei sem entender mesmo. Eu sei que usa a integral multiplicada pelo pi, mas não estou sabendo usar. Estou precisando dessa pra continuar.
neoreload
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Re: Integral para calcular o volume

Mensagempor Russman » Sex Mar 13, 2015 17:00

Não é difícil.

Se a curva que será girada em torno do eixo x é f(x) então o volume V do sólido gerado entre os extremos x=a e x=b é

V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx.

Ou seja, basta que você integre a função ao quadrado e multiplique por pi.

Tenta fazer isso.

Note que o intervalo de integração é [0,8] já que no limite y=0 a função f(x) = y = 8-x assume o valor para x=8. Ainda, olhando bem, o sólido gerado será um cone de altura 8 e raio de base \frac{f(0)}{2}. Daí, da geometria espacial, sabemos que seu volume será

V = \frac{A_{base}.h}{3} = \frac{\pi 4^2 . 8}{3} = \frac{512 \pi}{3}
"Ad astra per aspera."
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.