• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Integral dupla]definir região de integração

[Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor jeferson_justo135 » Qua Jan 14, 2015 21:17

Olá pessoal! Gostaria que alguém me ajudasse a entender esse problema, não estou conseguindo encontrar os valores para montar a equação para calcular a integral dupla:
Anexos
Integral.PNG
jeferson_justo135
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 15
Registrado em: Seg Jan 12, 2015 20:32
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia elétrica
Andamento: cursando

Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor Russman » Qui Jan 15, 2015 02:35

Primeiramente, identifique a curva e qual a forma de simetria.

A curva é uma circunferência de raio r=4 centrada na origem. Portanto, a forma de simetria é polar. Assim, o mais indicado é utilizar coordenadas polares!

A lei de transformação é

x = \rho \cos(\tehta)
y = \rho \sin(\theta)

Daí, da curva x^2 + y^2 = r^2(circunferência centrada na origem) você obtém \rho = 4.

Todos os ponto compreendidos a direita pela reta y=0^{+} representam, no nosso sistema de coordenadas, \theta = 0 de modo que x=0^{+} a norte representam \theta = \frac{\pi}{2} e a esquerda de y=0^{+} representam \theta = \pi.

Assim, a integral deve ser efetuada de 0 \leq \rho \leq 4 e \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi.

A função f(x) = 5x a ser integrada será substituída por f(\rho,\theta) = 5 \rho \cos(\theta) e o elemento de área \dx \ dy = \rho d\rho \ d\theta.

Logo, I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\int_{0}^{4} \rho^2 \cos(\theta) \ d\rho d\theta .

Por outro lado, você pode também integrar em -4 \leq x \leq 0 e 0 \leq y \leq \sqrt{16-x^2} pois a integral

\int x \sqrt{a^2-x^2} \ dx

é perfeitamente calculável via substituição.

Em ambos casos eu calculei I = -\frac{5.4^3}{3}.
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado

Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor jeferson_justo135 » Seg Jan 19, 2015 16:49

Olá amigo obrigado pelo retorno!

Agora eu entendi o conceito da questão acima, como montar, definir os valores. Porém não estou conseguindo entender como você chegou a esse resultado via substituição, você pode me explicar por favor? Ainda não domino essa matéria e estou estudando por conta.

Muito obrigado.
jeferson_justo135
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 15
Registrado em: Seg Jan 12, 2015 20:32
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia elétrica
Andamento: cursando

Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor Russman » Ter Jan 20, 2015 05:49

Na integral

I = \int_{x_1}^{x_2} x\sqrt{a^2-x^2} \ dx

faça a substituição a^2 - x^2 = u^2. Daí, como -x \ dx = u \ du então,

I = - \int_{u(x_1)}^{u(x_2)} \sqrt{u^2} \ du.

Como estamos avaliando uma região onde a função \sqrt{a^2-x^2} é positiva, então \sqrt{u^2} = + u e , daí,

I = - \int_{u(x_1)}^{u(x_2)} u \ du

que é muito simples.
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado

Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor jeferson_justo135 » Seg Fev 09, 2015 12:16

Olá amigo, obrigado!

Você pode por favor demonstrar pra mim essa resolução para chegar nesse resultado final que me disse? Estou precisando fazer esse exercício de integral trigonométrica porém o único apoio que tenho é o seu nesse fórum...por favor...
jeferson_justo135
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 15
Registrado em: Seg Jan 12, 2015 20:32
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia elétrica
Andamento: cursando

Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor Russman » Seg Fev 09, 2015 12:21

Qual integral?
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado

Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor jeferson_justo135 » Seg Fev 09, 2015 13:05

Essa amigo : I=-\frac{5.{4}^{3}}{3}, fiz de várias maneiras porém não consigo desenvolver, não consigo chegar a esse resultado, esse é o problema amigo...
jeferson_justo135
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 15
Registrado em: Seg Jan 12, 2015 20:32
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia elétrica
Andamento: cursando

Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor Russman » Seg Fev 09, 2015 15:22

Um erro de digitação no post anterior. Segue abaixo a correção.

Na integral

I = \int_{x_1}^{x_2} x\sqrt{a^2-x^2} \ dx

faça a substituição a^2 - x^2 = u^2. Daí, como -x \ dx = u \ du então,

I = - \int_{u(x_1)}^{u(x_2)} u \sqrt{u^2} \ du.

Como estamos avaliando uma região onde a função \sqrt{a^2-x^2} é positiva, então \sqrt{u^2} = + u e , daí,

I = - \int_{u(x_1)}^{u(x_2)} u^2 \ du

que é muito simples.

Como x_1 = -4 e x_2 = 0 então u(x_1) = \sqrt{16 -16 } = 0 e u(x_2) = \sqrt{16 -0 } = 4. Assim,

I = - \int_{0}^{4} u^2 \ du =  - \frac{u^3}{3} |^4_0 = - \frac{4^3}{3}

Agora basta multiplicar por 5.
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado

Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor jeferson_justo135 » Seg Fev 09, 2015 17:07

Nossa amigo você me ajudou muito!
Agradeço por toda atenção!
jeferson_justo135
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 15
Registrado em: Seg Jan 12, 2015 20:32
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia elétrica
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 31 visitantes

 



Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.