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[Integral dupla]definir região de integração

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Mensagempor jeferson_justo135 » Qua Jan 14, 2015 21:17

Olá pessoal! Gostaria que alguém me ajudasse a entender esse problema, não estou conseguindo encontrar os valores para montar a equação para calcular a integral dupla:
Anexos
Integral.PNG
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Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor Russman » Qui Jan 15, 2015 02:35

Primeiramente, identifique a curva e qual a forma de simetria.

A curva é uma circunferência de raio r=4 centrada na origem. Portanto, a forma de simetria é polar. Assim, o mais indicado é utilizar coordenadas polares!

A lei de transformação é

x = \rho \cos(\tehta)
y = \rho \sin(\theta)

Daí, da curva x^2 + y^2 = r^2(circunferência centrada na origem) você obtém \rho = 4.

Todos os ponto compreendidos a direita pela reta y=0^{+} representam, no nosso sistema de coordenadas, \theta = 0 de modo que x=0^{+} a norte representam \theta = \frac{\pi}{2} e a esquerda de y=0^{+} representam \theta = \pi.

Assim, a integral deve ser efetuada de 0 \leq \rho \leq 4 e \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi.

A função f(x) = 5x a ser integrada será substituída por f(\rho,\theta) = 5 \rho \cos(\theta) e o elemento de área \dx \ dy = \rho d\rho \ d\theta.

Logo, I = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}\int_{0}^{4} \rho^2 \cos(\theta) \ d\rho d\theta .

Por outro lado, você pode também integrar em -4 \leq x \leq 0 e 0 \leq y \leq \sqrt{16-x^2} pois a integral

\int x \sqrt{a^2-x^2} \ dx

é perfeitamente calculável via substituição.

Em ambos casos eu calculei I = -\frac{5.4^3}{3}.
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Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor jeferson_justo135 » Seg Jan 19, 2015 16:49

Olá amigo obrigado pelo retorno!

Agora eu entendi o conceito da questão acima, como montar, definir os valores. Porém não estou conseguindo entender como você chegou a esse resultado via substituição, você pode me explicar por favor? Ainda não domino essa matéria e estou estudando por conta.

Muito obrigado.
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Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor Russman » Ter Jan 20, 2015 05:49

Na integral

I = \int_{x_1}^{x_2} x\sqrt{a^2-x^2} \ dx

faça a substituição a^2 - x^2 = u^2. Daí, como -x \ dx = u \ du então,

I = - \int_{u(x_1)}^{u(x_2)} \sqrt{u^2} \ du.

Como estamos avaliando uma região onde a função \sqrt{a^2-x^2} é positiva, então \sqrt{u^2} = + u e , daí,

I = - \int_{u(x_1)}^{u(x_2)} u \ du

que é muito simples.
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Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor jeferson_justo135 » Seg Fev 09, 2015 12:16

Olá amigo, obrigado!

Você pode por favor demonstrar pra mim essa resolução para chegar nesse resultado final que me disse? Estou precisando fazer esse exercício de integral trigonométrica porém o único apoio que tenho é o seu nesse fórum...por favor...
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Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor Russman » Seg Fev 09, 2015 12:21

Qual integral?
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Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor jeferson_justo135 » Seg Fev 09, 2015 13:05

Essa amigo : I=-\frac{5.{4}^{3}}{3}, fiz de várias maneiras porém não consigo desenvolver, não consigo chegar a esse resultado, esse é o problema amigo...
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Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor Russman » Seg Fev 09, 2015 15:22

Um erro de digitação no post anterior. Segue abaixo a correção.

Na integral

I = \int_{x_1}^{x_2} x\sqrt{a^2-x^2} \ dx

faça a substituição a^2 - x^2 = u^2. Daí, como -x \ dx = u \ du então,

I = - \int_{u(x_1)}^{u(x_2)} u \sqrt{u^2} \ du.

Como estamos avaliando uma região onde a função \sqrt{a^2-x^2} é positiva, então \sqrt{u^2} = + u e , daí,

I = - \int_{u(x_1)}^{u(x_2)} u^2 \ du

que é muito simples.

Como x_1 = -4 e x_2 = 0 então u(x_1) = \sqrt{16 -16 } = 0 e u(x_2) = \sqrt{16 -0 } = 4. Assim,

I = - \int_{0}^{4} u^2 \ du =  - \frac{u^3}{3} |^4_0 = - \frac{4^3}{3}

Agora basta multiplicar por 5.
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Re: [Integral dupla]definir região de integração

Mensagempor jeferson_justo135 » Seg Fev 09, 2015 17:07

Nossa amigo você me ajudou muito!
Agradeço por toda atenção!
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Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: