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[Integral] para calcular volume

[Integral] para calcular volume

Mensagempor neoreload » Sex Nov 21, 2014 05:26

Pessoal eu tentei fazer essa questão:

Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t = 0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de r(t)=100e^{-0,01t} litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora?
Resposta = 4512L
Coloquei o tempo em 60minutos, e tentei fazer assim:
V=\int_0^{60}r(t)\,dt.
V=100\int_0^{60}e^{-0,01 t}\,dt. Nessa parte fiz substituição e cheguei eim:
V=[\frac{100}{-0,01}\cdot e^{-0,01t}]_0^{60}

V=[-10000\cdot e^{-0,01t}]_0^{60}

V=(-10000\cdot e^{-0,6})-(-10000\cdot e^{0})

Ai que complicou, pq resolvendo isso, eu chego em -10000\cdot e^{-0,6} que da -5488. Bem diferente da resposta que é 4512. Percebi que se eu diminuir o -5488 de +10000 da a resposta. Mas de onde deveria vir os 10000? errei algo?
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Re: [Integral] para calcular volume

Mensagempor felipederaldino » Qua Nov 26, 2014 11:16

neoreload escreveu:Pessoal eu tentei fazer essa questão:

Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t = 0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de r(t)=100e^{-0,01t} litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora?
Resposta = 4512L
Coloquei o tempo em 60minutos, e tentei fazer assim:
V=\int_0^{60}r(t)\,dt.
V=100\int_0^{60}e^{-0,01 t}\,dt. Nessa parte fiz substituição e cheguei eim:
V=[\frac{100}{-0,01}\cdot e^{-0,01t}]_0^{60}

V=[-10000\cdot e^{-0,01t}]_0^{60}

V=(-10000\cdot e^{-0,6})-(-10000\cdot e^{0})

Ai que complicou, pq resolvendo isso, eu chego em -10000\cdot e^{-0,6} que da -5488. Bem diferente da resposta que é 4512. Percebi que se eu diminuir o -5488 de +10000 da a resposta. Mas de onde deveria vir os 10000? errei algo?



você errou na hora do calculo

Segue a resolução da integral:

\int_{0}^{60}100{e}^{-0,01t}.dt



100\int_{0}^{60}{e}^{-0,01t}.dt



100.{e}^{-0,01t}.\left(-100 \right)



-10000 \left[{e}^{\left(-0,01 \right)60} - {e}^{\left(-0,01 \right).0}\right]



-10000\left[-0,4512 \right]



r\left(60 \right) = 4512L
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}