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Integral por frações parciais

Integral por frações parciais

Mensagempor Fernandobertolaccini » Seg Jul 21, 2014 20:02

Calcule:


\int_{}^{}\frac{dx}{(x^2-x)(x-2)}

Resp:\frac{1}{2}lnx-ln(x-1)+\frac{1}{2}ln(x-2) + C

Muito Obrigado !!!
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Re: Integral por frações parciais

Mensagempor e8group » Ter Jul 22, 2014 01:25

Não há muito que fazer ... é conta mesmo ! Comece a notar que

(x^2-x)(x-2) = x(x-1)(x-2) . Desta forma , temos que pela teoria frações parciais existe (A,B,C reais ) tal que

\frac{1}{x(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} .

Determinando A,B e C(faça as contas ) a integral requerida se resume a computar \int \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} dx  =  A \int \frac{1}{x} dx + B \int \frac{1}{x-1} dx + C \int \frac{1}{x-2} dx .

Note que sabemos integrar termos da forma \frac{1}{ax +b} (qual a resposta ?) .

Curiosidade :

É possível determinar A,B,C em termos da derivada do polinômio do denominador aplicado em suas raízes distintas

É o que diz o lemma abaixo

Sejamp,q polinômios com deg(q) = n >  deg(p) e q(x) = \prod_{k=1}^n (x- x_{k}) :   x_i \neq x_j \forall  i \neq j então

\frac{p(x)}{q(x)} =  \sum_{k=1}^{n}  \frac{\alpha_k}{x-x_k} com \alpha_k =  \frac{p(x_k)}{q'(x_k)} , k\in \{1,2 ,\hdots , n\} .
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.