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Integral por frações parciais

Integral por frações parciais

Mensagempor Fernandobertolaccini » Seg Jul 21, 2014 19:46

Calcule:

\int_{0}^{1}\frac{dx}{{x}^{2}+6x+8}

resp: \frac{1}{2}ln\frac{6}{5}

Muito obrigado
Fernandobertolaccini
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Re: Integral por frações parciais

Mensagempor jeff_95 » Sex Ago 29, 2014 06:14

Nessa integral devemos aplicar o método das frações parciais. Para isso devemos verificar se o polinômio pode ser fatorado num produto de binômios. Nesse caso, é fácil fazer isso pois é um polinômio de segundo grau. Após verificar o valor do discriminante \Delta e encontrar as raízes temos que:

\frac{1}{x^2+6x+8} = \frac{1}{(x+2)(x+4)}

Logo é possível separar o termo em 2 frações parcias. Fazendo isso temos:

\frac{1}{(x+2)(x+4)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+4}

Temos que ter: B(x+2) + A(x+4) = 1 (Polinômios idênticos)

Resolvendo o sistema encontramos: A=\frac{1}{2} e B=-\frac{1}{2}

Então:

\int\frac{1}{x^2+6x+8}dx = \int\frac{1}{(x+2)(x+4)}dx = \int\frac{\frac{1}{2}}{x+2}+ \frac{\frac{-1}{2}}{x+4}dx

\int\frac{\frac{1}{2}}{x+2}+ \frac{\frac{-1}{2}}{x+4}dx = \int\frac{\frac{1}{2}}{x+2}dx+ \int\frac{\frac{-1}{2}}{x+4}dx

Resolvendo a última integral por substituição (substiuindo u = (x+2) e repetindo o mesmo procedimento para a outra integral, temos:

\int\frac{1}{x^2+6x+8}dx = \frac{1}{2}ln(x+2)-\frac{1}{2}ln(x+4)+C

Assim \int_0^1\frac{1}{x^2+6x+8} = \frac{1}{2}[ln(1+2)-ln(1+4)-ln(0+2)+ln(0+4)] = \frac{1}{2}ln(\frac{6}{5})

Espero ter ajudado !!
jeff_95
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.