Integral por frações parciais

por **Fernandobertolaccini** » Seg Jul 21, 2014 19:46

Calcule:

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{{x}^{2}+6x+8}$

resp: $\frac{1}{2}ln\frac{6}{5}$

Muito obrigado

por **jeff_95** » Sex Ago 29, 2014 06:14

Nessa integral devemos aplicar o método das frações parciais. Para isso devemos verificar se o polinômio pode ser fatorado num produto de binômios. Nesse caso, é fácil fazer isso pois é um polinômio de segundo grau. Após verificar o valor do discriminante $\Delta$ e encontrar as raízes temos que:

$\frac{1}{x^2+6x+8}$ = $\frac{1}{(x+2)(x+4)}$

Logo é possível separar o termo em 2 frações parcias. Fazendo isso temos:

$\frac{1}{(x+2)(x+4)}$ = $\frac{A}{x+2}$ + $\frac{B}{x+4}$

Temos que ter: B(x+2)

+

= 1 (Polinômios idênticos)

Resolvendo o sistema encontramos: $A=\frac{1}{2}$ e $B=-\frac{1}{2}$

Então:

$\int\frac{1}{x^2+6x+8}dx$ = $\int\frac{1}{(x+2)(x+4)}dx$ = $\int\frac{\frac{1}{2}}{x+2}+ \frac{\frac{-1}{2}}{x+4}dx$

$\int\frac{\frac{1}{2}}{x+2}+ \frac{\frac{-1}{2}}{x+4}dx$ = $\int\frac{\frac{1}{2}}{x+2}dx+ \int\frac{\frac{-1}{2}}{x+4}dx$

Resolvendo a última integral por substituição (substiuindo u = (x+2)

e repetindo o mesmo procedimento para a outra integral, temos:

$\int\frac{1}{x^2+6x+8}dx$ = $\frac{1}{2}ln(x+2)-\frac{1}{2}ln(x+4)+C$

Assim $\int_0^1\frac{1}{x^2+6x+8}$ = $\frac{1}{2}[ln(1+2)-ln(1+4)-ln(0+2)+ln(0+4)]$ = $\frac{1}{2}ln(\frac{6}{5})$

Espero ter ajudado !!

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