[Integral recursiva]Transformadas de Fourier

por **luisbaixo** » Dom Jun 29, 2014 16:56

Fala pessoal tudo bem? Então , eu to com dificuldade pra enxergar a recursividade dessa integral para a transformada cosseno de fourier

Fc(e^-x) o resultado deve ser :(2/pi)*(e^-x)*(-cos(wx)+w*sen(wx))/(1+w²) = (2/pi)^1/2*1/(1+w²)

entretanto eu travei aqui : $\sqrt[2]{2/pi}*[-{e}^{-x}*cos(wx)-w*{e}^{-x}*sen(wx)+{w}^{2}\int_{0}^\infty e^{-x}*cos(wx)dx$

nao consigo enxergar como isso vai ser recursivo , pra mim o grau vai apenas aumentando... , obrigado!!

por **e8group** » Dom Jun 29, 2014 18:11

Para a transformação Fourier ser puramente de cossenos , a aplicação f não deveria ser par ?
E outra ....Não acha mais simples usar a definição $F(t)(\omega) := \int_{-\infty}}^{+\infty} f(t) epx(-i\omega t) dt$ já que estar a trabalhar com f(t) = exp(-t)

?

De qualquer forma ...Deixo uma dica para computar integrais da forma $\int epx(kx) cos(x) dx$ .
Fixe $k \neq 0$ .
Deixe $I_A( f(x)) = \int_A exp(kx) f(x) dx = \int_a^b exp(kx) f(x) dx$ e $D I_A(f(x)) = \left[exp(kx) f(x)\right]_{a}^b$ .

Por partes , tem-se que (com f(x)= sin(x)

)

$I_A( sin(x)) = \int_A exp(kx) sin(x) dx = \frac{1}{k} \int_A \left(\frac{d}{dx}[ exp(kx)sin(x) ] - exp(kx)cos(x) \right) dx = \frac{1}{k} DI_A(sin(x)) - \frac{1}{k} I_A(cos(x))$ .

Aplicando a fórmula acima ,

$I_A( cos(x)) = \int_A exp(kx) cos(x) dx = \frac{1}{k} \int_A \left(\frac{d}{dx}[ exp(kx)cos(x) ] + exp(kx)sin(x) \right) dx = \frac{1}{k} DI_A(cos(x)) +\frac{1}{k} I_A(sin(x))$ .

E com isso tem-se o sistema

$\begin{cases} k I_A(sin(x)) + I_A(cos(x)) = D I_A(sin(x)) \\ k I_A(cos(x))- I_A(sin(x)) = D I_A(cos(x))\end{cases}$ .

Resolvendo encontrará o que se pede . Basta fazer primeiro uma subs. simples $x \omega = u$ e depois tomar $k = -u / \omega$ .

por **luisbaixo** » Ter Jul 01, 2014 11:00

Obrigado cara , ajudou bastante! Mas agora tenho outra dúvida.

Estou com dúvida na parte de modelagem de EDP's , especificamente na parte da equação da onda. Estou com o seguinte problema

Encontre u(x,t) para a corda de comprimento L = 1 e c² = 1 quando a velocidade inicial for zero e a deflexão inicial com pequenos valores de k (digamos 0,01) for como se segue.

2)k(sen(pi*x) - (1/3)*sen(3*pi*x))
4)kx(1-x²)
O negócio é que eu sei que tenho que usar U(x,o) = E(Bn*sen(n*pi*x/L)) mas só isso(nem o Bn eu to entendendo mais haha) , nao sei como fazer o resto estou realmente perdido =/

E sei também que o u(x,t) = E(Bn*cos(at)+Bn*sen(at))*sen(n*pi*x/L) e que a = lambda = c*n*pi/L , certo?
Obrigado!