Derivada de uma função quociente

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Derivada de uma função quociente

Mensagempor EnGENheiro_nota10 » Dom Mai 25, 2014 23:27

f(x)= \sqrt[3]{x}-x/ \sqrt {x}

Bem, para explicar minha dúvida:
Eu utilizei as regras de derivações normais, isto é, a derivada do quociente; ficou deste modo:

((x/ 3*\sqrt[3]{x^2}) - \sqrt[3]{x})/x

Depois, continuei fazendo através de mínimo múltiplo comum e regras algébricas normais. Entretanto, o resultado não bateu com o Guidorizzi, que é:

(3x- \sqrt[3]{x})/6x\sqrt{x}

Alguém poderia me dizer aonde errei?
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Re: Derivada de uma função quociente

Mensagempor DanielFerreira » Qua Jul 16, 2014 22:16

\\ f(x) = \frac{\sqrt[3]{x} - x}{x} \\\\\\ f(x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} - x}{x} \\\\\\ f'(x) = \frac{(x^{\frac{1}{3}} - x)' \cdot x - (x^{\frac{1}{3}} - x) \cdot (x)'}{x^2} \\\\\\ f'(x) = \frac{(\frac{1}{3} \cdot x^{\frac{-2}{3}} - 1)x - (x^{\frac{1}{3}} - x) \cdot 1}{x^2} \\\\ f'(x) = \frac{x\left( \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - 1 \right) - \sqrt[3]{x} + x}{x^2} \\\\\\ f'(x) = \frac{\frac{x}{3\sqrt[3]{x^2}} - \cancel{x} - \sqrt[3]{x} + \cancel{x}}{x^2} \\\\\\ f'(x) = \frac{x - 3\sqrt[3]{x^3}}{3\sqrt[3]{x^2}} \div x^2 \\\\\\ f'(x) = \frac{x - 3x}{3\sqrt[3]{x^2}} \times \frac{1}{x^2} \\\\\\ f'(x) = \frac{- 2x}{3x^2\sqrt[3]{x^2}} \\\\\\ f'(x) = \frac{- 2}{3x\sqrt[3]{x^2}} \\\\\\ f'(x) = - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^3 \cdot x^2}} \\\\\\ \boxed{f'(x) = - \frac{2}{3x^{\frac{5}{3}}}}
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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