Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

por **Flawyo** » Ter Mai 13, 2014 13:58

Olá,

Por gentileza, estou tentando entender como encontrar onde haverá valor máximo em determinados intervalos de funções cúbicas.

O exercício é o seguinte:

Encontre o valor máximo de x^3 -3x,no intervalo -a?x?a, (a>0).

Para este exercício primeiramente eu derivei a equação acima,
Logo f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)

Percebi que quando x = -1 e y = 2, a função é crescente. E quando x = 1 e y = -2, a função é decrescente.

Se o a>0,

Então, as condições são:

i) Quando 0<a<1
o valor máximo é f(-a) = -a^3 + 3a

ii) Quando 1?x?2
o valor máximo é f(2) = 2

iii) Quando a>2
o valor máximo é f(a) = a^3 - 3a

Esta foi a minha resolução. Porém, no gabarito desta questão, precisamente na condição (ii), o valor máximo é f(-1) = 2 e não F(2) = 2, como coloquei. Eu discordei do gabarito, por que entendo que se o a>0, f(-1) não serviria, mesmo que f(-1) seja igual como se nota à f(2).
Gostaria que vocês avaliassem e me dissessem se concordam com a minha resolução ou com a do gabarito. E claro, caso descordem da minha, o por que discordam. Se puderem me indicar videoaulas que possam me ajudar também, ficaria extremamente agradecido, pois, não encontrei nada em minhas pesquisas tanto em material escrito quanto em vídeo. O que encontrei foram resoluções com o valor do domínio definido em números, nada como esta questão.

por **e8group** » Ter Mai 13, 2014 15:37

Flávio de S. Rodrigues , minhas humildes desculpas . Hoje mais atento ,percebi que você disse máximo (=máximo global) [e não local] e o intervalo a ser considerado é limitado e não ilimitado .Deveria ter lido seu post com mais atenção .

Fazendo o estudo do sinal de f'(x)

, concluímos que

a) $f'(x) \leq 0$ sempre que $x \in [-1,1]$ ( o que significa que a função f é decrescente(= monótona não-crescente) [def . vide : http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... %C3%B3tona ] no intervalo fechado )

b) f'(x) > 0

sempre que $x \in (-\infty,-1) \cup (1,+\infty)$ ( o que significa que a função f é estritamente crescente [def . vide : http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... %C3%B3tona ] na reunião dos intervalos abertos )
(1) Se $0 < a \leq 1$ , segue $[-a,a] \subset [-1,1]$ . De (a) , resulta que $max\{f(x); x \in [-a,a] \} = f(-a) = -a^3 +3a$ .

(2) se a > 1

. Podemos reescrever o intervalo [-a,a]

como $[-a,-1] \cup[-1,1] \cup (1,a]$ .

$[-a,-1] \subset (-\infty,-1]$ . (Neste intervalo a função não é estritamente crescente , mas é crescente ) . Segue

$max\{f(x); x \in [-a,-1] \} = f(-1)$ .

2.1) $(1,a] \subset (1,+\infty)$ então de (b) resulta $max \{f(x); x \in (1,a] \} = f(a) = a^3 -3a$ .

Quem é maior f(-1) , f(-a) ,f(a)

? Vamos determinar $max\{f(-1) , f(-a), f(a) \} = max\{f(x); x \in [-a,a] \}$ .

Verificamos que f(2) = f(-1) = 2

, como

é crescente em (1,2]

resulta que $2 \geq f(x) , \forall x \in (1,2]$ .

2.2) Se $1 < a \leq 2$ então $max\{ f(a) ,f(-a) ,f(-1) \} = max\{f(x); x \in [-a,a] \} = f(-1) = 2$

2.3) Se a > 2

, então , $max\{f(-1) , f(-a), f(a) \} = max\{f(x); x \in [-a,a] \} = f(a)= a^3 -3a$

i) Boas aulas de cálculo em português : Recomendo http://www.youtube.com/user/LCMAquino

ii)Bom livro de cálculo em Português (Inglês ): Recomendo http://www.labma.ufrj.br/~mcabral/texto ... -livro.pdf

(Calculus spivak https://ia601606.us.archive.org/22/item ... lculus.pdf )

por **Flawyo** » Ter Mai 13, 2014 23:33

Obrigado, pela gentileza de responder à questão. Entendi que seria F(-1), mas infelizmente não tenho competência para entender todo o seu cálculo, ainda estou começando o estudo de limites, derivada, integral e diferenciação.

De qualquer forma, guardarei sua solução para posteriormente estudá-la.

Agradeço também a indicação do material de pesquisa. Nestes tempos em que início meus estudos sobre essas temáticas me será de grande utilidade.

Muitíssimo grato,

Flávio de S. Rodrigues.

por **Flawyo** » Qui Mai 15, 2014 13:38

Obrigado por rever o tópico. Isso demonstra que é atencioso.

Deste modo que você resolveu ficou um pouco mais claro do que o outro. Mais eu continuo perdido no porque não seria F(2) ao invés de F(-1), pois os valores de y são os mesmos, no entanto, me parece que os valores de y serem o mesmo é um dos critérios, mas o valor de x importa tanto quanto. Outra pessoa me disse que se eu substituir 2 em ${a}^{3}+3a$ o valor de "a" ficará negativo, e como a>0, então não poderia ser F(2). Já quando substituímos F(1) que se transforma em F(-1), pois substituindo 1 em F(-a) realmente o "a" fica positivo.
No entanto, testando essa ideia em outros exercícios ela não se mostrou válida. O material que tenho aqui, limita-se a dizer que "quando a=2, então F(-1) = F(2) = 2, logo o máximo é F(-1)".

Sinceramente eu fico boiando. (Risos)

Mais vez obrigado por ser esforço e dedicação,

Flávio de S. Rodrigues.

por **e8group** » Sex Mai 16, 2014 11:50

Bom dia Flávio de S. Rodrigues. Por favor veja novamente o tópico , observe que para cada a > 1

fixado , podemos escrever o intervalo $[-a,-1] \cup [-1,1] \cup (1,a]$ . Por que fazer isso ? Justificativa está em (a) e (b) .

Queremos saber qual o maior valor possível que a aplicação

avaliada em

fixo em

assume .

(** Notação $f([-a,a]) = \{f(x) ; x \in [-a,a]\}$ e o maior número deste conjunto é denotado por $max f([-a,a]) = max\{f(x) ; x \in [-a,a\}$ )

Exemplo

$g : n \in \mathbb{N} \mapsto g(n) = n! + 2 \in \mathbb{N}$ .

Note que $\{1,2,3,4,5\} \subset \mathbb{N}$ e

$g(\{1,2,3,4,5\} ) =\{3,4,8,26,122\}$ .

Claramente $max(g (\{1,2,3,4,5\} ) = 122$ e

$\{3,4,8,26,122\} = \{3,4\} \cup \{8,26,122\}$

De $max\{3,4\} = 4$ e $max\{8,26,122\} = 122$ resulta $122 = max(4,122) = max(max\{3,4\}, max\{8,26,122\})$ .

Em geral se $\varnothing \neq X_i \subset \mathbb{R}$ possui máximo , digamos, $max X_i = y_i \in \mathbb{R}$ para i=0,1,2,3,...,n

, então

$max \bigcup_{i=1}^n X_i = max (X_1 \cup X_2 \hdots \cup X_n) = max \bigcup_{i=1}^n \{max X_i\} = \\ \\ max \bigcup_{i=1}^n \{y_i \} = max\{y_1,\hdots , y_n\}$

(Informações sobre máximo , mínimo , supremo , ínfimo (http://pt.wikipedia.org/wiki/Supremo_e_%C3%ADnfimo)

Voltando a função dada,

Como ** $f([-a,a]) = f([-a,-1]) \cup f([-1,-1]) \cup f((1,a])$ . Então ,

** $max(f([-a,a])) = max \{ max f([-a,-1]) , max f([-1,-1]) , max f((1,a]) \}$ . Usando (a) e (b) concluímos que

max f([-a,-1]) = f(-a)

,

e

.

Desta forma **

$max f([-a,a]) = max \{f(-a) , f(-1) , f(a) \}$ .

Ora, se a = 2

, nos temos que os números f(2)

e

são iguais e $max \{f(-2),f(2) ,f(-1) \} = f(-1) =f(2) = 2$ . Agora se 1 <a < 2

,

$max \{f(-a) , f(-1) , f(a) \} = f(-1)$ . Ao invés de uma condição a mais que é desnecessária , podemos simplesmente dizer que para $1 < a \leq 2$ temos $max \{f(-a) , f(-1) , f(a) \} = f(-1)$ (e não f(2)

pq?) .

Por outro lado se a > 2

, então $max \{f(-a) , f(-1) , f(a) \} = f(a)$ , pois ,

f(a) = a^3 - 3a = a (a^2 -3)

, mas

$a > 2 \implies a^2 -3 > 1 \implies a (a^2 -3) > a \implies f(a) > 2 = f(-1) > f(-a)$ .

Espero que fique claro .Caso contrário só dizer .

por **Flawyo** » Seg Mai 19, 2014 12:15

Olá Santhiago,

Bom é como te disse meu conhecimento por ora limita-se a derivar funções, integrá-las ou diferenciá-las. Também, conheço as funções: exponencial, logarítmica, fracionária, irracional, quadrática e de grau superior. Mas, eu não tenho conhecimento de análises envolvendo infinitos. Então é difícil para mim entender o que você propõe nos itens a e b. É certo que eu conheço análises envolvendo funções monótonas, mas não essa análise que você fez e olhando a Wikipédia eu fiquei mais perdido ainda.

Eu estou cursando matemática no Kumon, estou terminando o estágio L. E lá, eles simplificam muito o conteúdo ensinado. É uma vantagem, pois, você aprende a pensar a matemática da forma mais simples possível, no entanto, há suas desvantagens, afinal, pouco nos habituamos a fazer análises usando uma simbologia como você tem usado.

Somente no Estágio O eu verei análises envolvendo infinitos, embora toda a base venha dos Estágios M e N.
Então, até para fazer uma pergunta para você fica complicado. Eu não tenho o entendimento para lhe entender ou discutir com você.

Logo, talvez seja um esforço frustrante para você descer onde eu estou neste momento. Por isso, considero que mais a frente, nos meses que seguem eu possa alcançar você e retomarmos esse entendimento com mais equidade de ambos os lados. É possível que eu inclusive entenda seu cálculo sem mesmo necessitar lhe questionar.

Então, realmente o agradeço muito pelo esforço em ajudar-me. Porque você ajudou!

Obrigado,

Flávio.

por **e8group** » Seg Mai 19, 2014 22:41

Caro Flávio de S. Rodrigues , você está sendo muito modesto , também estou aprendendo , sou apenas um colaborador do fórum que gosta muito de matemática e apreciador deste mundo abstrato .

Agora falando de símbolos ...

Símbolos como $\sum , \bigcup , \bigcap , \prod$ e etc , são muito uteis , o primeiro por exemplo para compactar somas , o segundo para união de vários conjuntos .E convenhamos , não sei se você pensa o mesmo , mas acho a matemática muita linda quando escrita nesta forma .

Hoje lembro do curso preparatório p/ o vestibular, na época aprendemos a calcular determinantes de matrizes 3 por 3 e pesquisando sobre determinantes encontrei uma fórmula chamada " leibniz formula for determinants " . Acredite ou não , me senti muito motivado a estudar matemática a cada vez que olhava aquela fórmula elegante , achava aquilo incrível ! (uma pena que do ponto de vista prático é mais rápido calcular determinantes aplicando operações elementares a fim de triangularizar a matriz , ou mesmo utilizando decomposição LU , digo isso hoje , claro ) , mesmo não entendendo nada .
Só aprendi sobre somatórios e produtórios quando iniciei o curso na universidade .

Você mencionou sobre infinito , não se preocupe ! Ele é inimaginável por todos nós , nenhuma mente humana é capaz de imaginar ele .Acho ele fascinante , não acha ?

por **Flawyo** » Qua Mai 21, 2014 14:54

Olá Santhiago,

Eu na verdade ainda tenho medo da própria matemática. Eu não tive uma boa história com meus professores de matemática.

Nos meus últimos dias de aula do 3º ano do Ensino Médio, por acaso eu acabei contando a um colega que meu sonho era estudar na USP. Esse colega contou para todos os outros, até que isso chegou ao ouvido do professor de Matemática. Estávamos na aula dele. E, ele era um dos padrinhos da nossa turma. Logo que este professor ficou sabendo, ele gritou para todos: "Então o fulano quer estudar em uma das melhores Universidades do país?". Ao dizer isso, ele começou a rir... Ele ria sem parar, e logo todos estavam rindo de mim e do meu sonho. Eu respirei fundo, porque não queria chorar na frente deles... Eu então, levantei do meu lugar e fui até a frente da sala e diante dele eu disse gaguejando: "Você ri de mim e esqueci que ri de você mesmo... Afinal, quem foi meu professor de matemática desde a Oitava Série até hoje?". Obviamente, ele parou de rir, mas respondeu dizendo que eu já estava reprovado na disciplina dele. E estaria mesmo, se a Diretora da Escola não fosse madrinha da nossa turma e tivesse entrado no meio desta história.

Minha vida se resume ao fracasso escolar nas disciplinas relacionadas a exatas. E depois desta última experiência, eu chorei durante vários dias, porque eu sabia que por mais que meu Professor tivesse cometido um erro, ele tinha razão, eu não tinha conhecimento suficiente de exatas para disputar uma vaga na USP. E o pior eu achava que eu era culpado por isso. Achava que eu tinha algum problema mental ou neurológico. E desisti da USP, desisti de medicina, porque achava que não daria conta.

Fui me dedicar ao que muito sabia, eu era bom entendedor da filosofia, da biologia, da poesia. Desde cedo eu ganhei concursos de redação. Logo, me decidi pela psicologia, um curso relacionado com o que eu gostava e nada de matemática, pensava eu. Para meu espanto, no primeiro semestre eu me deparei com a estatística aplicada à psicologia e sem saber nada de matemática eu só queria fazer pesquisas tendo como arcabouço a estatística, eu ficava fascinado com números e cálculos. Supri minha deficiência aprendendo a teoria e usando programas para os cálculos. A pesquisa que resultou no meu TCC foi baseada inteiramente na estatística, em cálculos de significância.

Então, a psicologia me confrontou várias vezes com esse medo dos números e a paixão pelas letras. Me lembrei da medicina que tinha abandonado.
Um dia eu decidi ir atrás do por que eu não tinha aprendido matemática. Fui em neurologista, psicopedagogo, pedagogo etc. Ninguém soube responder. Eu era normal! Tomografia do cérebro sem lesões, não havia presença de discalculia, nada.

Sem saber para quem ou para onde ir, para resolver isso, andando no centro da minha cidade e pensando no que fazer eu me deparei com o Kumon. Mesmo desconfiado de que eu poderia não aprender nada lá, afinal, nunca tinha aprendido nada além de contar ou operar cálculos simples, eu aceitei o desafio. E entrei.

Em 2 anos eu já sabia muito mais de matemática, do que em 13 anos de vida escolar. E agora com 3 anos (isso, porque eu fique alguns meses doente) eu estou concluindo o Kumon, sabendo infinitamente mais. Não há como comparar.

Mais os fantasmas estão todos por aqui ainda. Tem dias que eu não acredito no que sei. O pessoal do Kumon diz que isso é claramente uma limitação para mim.

Enfim, minha modéstia, tem muitos significados.
Eu concordo com você sobre a beleza dos símbolos na matemática. Mas, se às vezes eu tenho medo dos números, imagina os símbolos (risos). Eu, entendo boa parte deles, mas meus bloqueios às vezes me impedem de ir adiante.

Você falando do seu encantamento com Leibniz, eu me lembrei do meu deslumbramento com Euler ao propor seus números e a fórmula da identidade. Eu não entendo aquela fórmula, mas fiquei fascinado nela e ela me motiva a continuar com a matemática, assim, como os estudos de Agnesi. Como aquela mulher conseguiu pegar os estudos de Newton e Leibniz e entendê-los a tal ponto de simplificá-los é de tirar o chapéu.

Por fim, pois, já me prolonguei demais. O infinito é algo realmente impressionante, afinal, onde quer que olhemos lá está ele, especialmente na natureza.

Então, só posso dizer a você que mesmo com os contratempos que mencionei, a matemática é sim apaixonante, principalmente porque ela é abstrata tal como as letras antes de formar uma palavra. E atualmente, penso numa forma de integrar a matemática, a psicologia e a medicina. Eu acho que encontrei, num antigo projeto que escrevi a respeito da nanotecnologia.

Uma ótima semana para você!

por **e8group** » Sáb Mai 24, 2014 16:43

Caro Flávio de S. Rodrigues , acabei de ler seu post , realmente não sei o que argumentar , o tópico acabou estendendo para assuntos talvez um pouco fora da matemática por parte de ambos ,que é normal ! Parabéns pelo esforço e boa sorte nos estudos .

por **Flawyo** » Ter Mai 27, 2014 14:06

Olá Santhiago,

Eu o compreendo. Realmente nos estendemos para além da matemática. Agradeço por seu incentivo e mais uma vez por me acompanhar em minha dúvida matemática.

Grato,

Flávio de S. Rodrigues.