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Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Mensagempor Flawyo » Ter Mai 13, 2014 13:58

Olá,

Por gentileza, estou tentando entender como encontrar onde haverá valor máximo em determinados intervalos de funções cúbicas.

O exercício é o seguinte:

Encontre o valor máximo de x^3 -3x,no intervalo -a?x?a, (a>0).

Para este exercício primeiramente eu derivei a equação acima,
Logo f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)

Percebi que quando x = -1 e y = 2, a função é crescente. E quando x = 1 e y = -2, a função é decrescente.

Se o a>0,

Então, as condições são:

i) Quando 0<a<1
o valor máximo é f(-a) = -a^3 + 3a

ii) Quando 1?x?2
o valor máximo é f(2) = 2

iii) Quando a>2
o valor máximo é f(a) = a^3 - 3a

Esta foi a minha resolução. Porém, no gabarito desta questão, precisamente na condição (ii), o valor máximo é f(-1) = 2 e não F(2) = 2, como coloquei. Eu discordei do gabarito, por que entendo que se o a>0, f(-1) não serviria, mesmo que f(-1) seja igual como se nota à f(2).
Gostaria que vocês avaliassem e me dissessem se concordam com a minha resolução ou com a do gabarito. E claro, caso descordem da minha, o por que discordam. Se puderem me indicar videoaulas que possam me ajudar também, ficaria extremamente agradecido, pois, não encontrei nada em minhas pesquisas tanto em material escrito quanto em vídeo. O que encontrei foram resoluções com o valor do domínio definido em números, nada como esta questão.
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Re: Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Mensagempor e8group » Ter Mai 13, 2014 15:37

Flávio de S. Rodrigues , minhas humildes desculpas . Hoje mais atento ,percebi que você disse máximo (=máximo global) [e não local] e o intervalo a ser considerado é limitado e não ilimitado .Deveria ter lido seu post com mais atenção .

Fazendo o estudo do sinal de f'(x) , concluímos que

a) f'(x) \leq 0 sempre que x \in [-1,1] ( o que significa que a função f é decrescente(= monótona não-crescente) [def . vide : http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... %C3%B3tona ] no intervalo fechado )

b) f'(x) > 0 sempre que x \in (-\infty,-1) \cup (1,+\infty) ( o que significa que a função f é estritamente crescente [def . vide : http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7% ... %C3%B3tona ] na reunião dos intervalos abertos )
(1) Se 0 < a \leq 1 , segue [-a,a] \subset [-1,1] . De (a) , resulta que max\{f(x); x \in [-a,a] \} = f(-a) =  -a^3 +3a .

(2) se a > 1 . Podemos reescrever o intervalo [-a,a] como [-a,-1] \cup[-1,1] \cup (1,a] .

[-a,-1] \subset (-\infty,-1] . (Neste intervalo a função não é estritamente crescente , mas é crescente ) . Segue

max\{f(x); x \in [-a,-1] \} = f(-1) .

2.1) (1,a] \subset  (1,+\infty) então de (b) resulta max \{f(x); x \in (1,a] \} = f(a) = a^3 -3a .

Quem é maior f(-1) , f(-a) ,f(a) ? Vamos determinar max\{f(-1) , f(-a), f(a) \} = max\{f(x); x \in [-a,a] \} .

Verificamos que f(2) =  f(-1)  = 2 , como f é crescente em (1,2] resulta que 2  \geq f(x) , \forall x \in (1,2] .

2.2) Se 1 < a \leq 2 então max\{ f(a) ,f(-a) ,f(-1) \}  =  max\{f(x); x \in [-a,a] \} =  f(-1) = 2

2.3) Se a > 2 , então , max\{f(-1) , f(-a), f(a) \} = max\{f(x); x \in [-a,a] \}  =   f(a)= a^3 -3a


i) Boas aulas de cálculo em português : Recomendo http://www.youtube.com/user/LCMAquino

ii)Bom livro de cálculo em Português (Inglês ): Recomendo http://www.labma.ufrj.br/~mcabral/texto ... -livro.pdf

(Calculus spivak https://ia601606.us.archive.org/22/item ... lculus.pdf )
Editado pela última vez por e8group em Qui Mai 15, 2014 02:11, em um total de 2 vezes.
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Re: Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Mensagempor Flawyo » Ter Mai 13, 2014 23:33

Obrigado, pela gentileza de responder à questão. Entendi que seria F(-1), mas infelizmente não tenho competência para entender todo o seu cálculo, ainda estou começando o estudo de limites, derivada, integral e diferenciação.

De qualquer forma, guardarei sua solução para posteriormente estudá-la.

Agradeço também a indicação do material de pesquisa. Nestes tempos em que início meus estudos sobre essas temáticas me será de grande utilidade.

Muitíssimo grato,


Flávio de S. Rodrigues.
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Re: Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Mensagempor Flawyo » Qui Mai 15, 2014 13:38

Obrigado por rever o tópico. Isso demonstra que é atencioso.

Deste modo que você resolveu ficou um pouco mais claro do que o outro. Mais eu continuo perdido no porque não seria F(2) ao invés de F(-1), pois os valores de y são os mesmos, no entanto, me parece que os valores de y serem o mesmo é um dos critérios, mas o valor de x importa tanto quanto. Outra pessoa me disse que se eu substituir 2 em {a}^{3}+3a o valor de "a" ficará negativo, e como a>0, então não poderia ser F(2). Já quando substituímos F(1) que se transforma em F(-1), pois substituindo 1 em F(-a) realmente o "a" fica positivo.
No entanto, testando essa ideia em outros exercícios ela não se mostrou válida. O material que tenho aqui, limita-se a dizer que "quando a=2, então F(-1) = F(2) = 2, logo o máximo é F(-1)".

Sinceramente eu fico boiando. (Risos)

Mais vez obrigado por ser esforço e dedicação,


Flávio de S. Rodrigues.
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Re: Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Mensagempor e8group » Sex Mai 16, 2014 11:50

Bom dia Flávio de S. Rodrigues. Por favor veja novamente o tópico , observe que para cada a > 1 fixado , podemos escrever o intervalo [-a,-1] \cup [-1,1] \cup (1,a] . Por que fazer isso ? Justificativa está em (a) e (b) .

Queremos saber qual o maior valor possível que a aplicação f avaliada em x fixo em [-a,a] assume .

(** Notação f([-a,a]) = \{f(x)  ; x \in [-a,a]\} e o maior número deste conjunto é denotado por max f([-a,a]) = max\{f(x) ;  x \in [-a,a\} )

Exemplo

g : n \in \mathbb{N} \mapsto g(n) = n! + 2 \in  \mathbb{N} .

Note que \{1,2,3,4,5\} \subset \mathbb{N} e

g(\{1,2,3,4,5\} ) =\{3,4,8,26,122\} .

Claramente max(g (\{1,2,3,4,5\} ) = 122 e

\{3,4,8,26,122\} = \{3,4\} \cup \{8,26,122\}

De max\{3,4\} = 4 e max\{8,26,122\} = 122 resulta 122 = max(4,122) = max(max\{3,4\}, max\{8,26,122\}) .

Em geral se \varnothing \neq  X_i \subset  \mathbb{R} possui máximo , digamos, max X_i = y_i \in \mathbb{R} para i=0,1,2,3,...,n , então

max \bigcup_{i=1}^n X_i = max (X_1 \cup X_2 \hdots \cup X_n) = max \bigcup_{i=1}^n \{max X_i\} =  \\ \\  max \bigcup_{i=1}^n \{y_i \} =   max\{y_1,\hdots , y_n\}

(Informações sobre máximo , mínimo , supremo , ínfimo (http://pt.wikipedia.org/wiki/Supremo_e_%C3%ADnfimo)

Voltando a função dada,

Como ** f([-a,a]) = f([-a,-1]) \cup f([-1,-1]) \cup f((1,a]) . Então ,

** max(f([-a,a])) = max \{ max f([-a,-1]) ,  max f([-1,-1]) , max f((1,a]) \} . Usando (a) e (b) concluímos que

max f([-a,-1]) = f(-a) ,

max f([-1,-1]) = f(-1) e

max f((1,a]) = f(a) .

Desta forma **

max f([-a,a]) = max \{f(-a) , f(-1) , f(a) \} .

Ora, se a = 2 , nos temos que os números f(2) e f(-1) são iguais e max \{f(-2),f(2) ,f(-1) \} = f(-1) =f(2) = 2 . Agora se 1 <a < 2 ,

max \{f(-a) , f(-1) , f(a) \} = f(-1) . Ao invés de uma condição a mais que é desnecessária , podemos simplesmente dizer que para 1 < a \leq 2 temos max \{f(-a) , f(-1) , f(a) \} = f(-1) (e não f(2) pq?) .

Por outro lado se a > 2 , então max \{f(-a) , f(-1) , f(a) \} = f(a) , pois ,

f(a) = a^3 - 3a = a (a^2 -3) , mas

a > 2 \implies  a^2 -3 > 1 \implies a (a^2 -3) > a \implies f(a) > 2 = f(-1) > f(-a) .

Espero que fique claro .Caso contrário só dizer .
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Re: Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Mensagempor Flawyo » Seg Mai 19, 2014 12:15

Olá Santhiago,

Bom é como te disse meu conhecimento por ora limita-se a derivar funções, integrá-las ou diferenciá-las. Também, conheço as funções: exponencial, logarítmica, fracionária, irracional, quadrática e de grau superior. Mas, eu não tenho conhecimento de análises envolvendo infinitos. Então é difícil para mim entender o que você propõe nos itens a e b. É certo que eu conheço análises envolvendo funções monótonas, mas não essa análise que você fez e olhando a Wikipédia eu fiquei mais perdido ainda.

Eu estou cursando matemática no Kumon, estou terminando o estágio L. E lá, eles simplificam muito o conteúdo ensinado. É uma vantagem, pois, você aprende a pensar a matemática da forma mais simples possível, no entanto, há suas desvantagens, afinal, pouco nos habituamos a fazer análises usando uma simbologia como você tem usado.

Somente no Estágio O eu verei análises envolvendo infinitos, embora toda a base venha dos Estágios M e N.
Então, até para fazer uma pergunta para você fica complicado. Eu não tenho o entendimento para lhe entender ou discutir com você.

Logo, talvez seja um esforço frustrante para você descer onde eu estou neste momento. Por isso, considero que mais a frente, nos meses que seguem eu possa alcançar você e retomarmos esse entendimento com mais equidade de ambos os lados. É possível que eu inclusive entenda seu cálculo sem mesmo necessitar lhe questionar.

Então, realmente o agradeço muito pelo esforço em ajudar-me. Porque você ajudou!

Obrigado,


Flávio.
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Re: Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Mensagempor e8group » Seg Mai 19, 2014 22:41

Caro Flávio de S. Rodrigues , você está sendo muito modesto , também estou aprendendo , sou apenas um colaborador do fórum que gosta muito de matemática e apreciador deste mundo abstrato .

Agora falando de símbolos ...

Símbolos como \sum , \bigcup , \bigcap  , \prod e etc , são muito uteis , o primeiro por exemplo para compactar somas , o segundo para união de vários conjuntos .E convenhamos , não sei se você pensa o mesmo , mas acho a matemática muita linda quando escrita nesta forma .

Hoje lembro do curso preparatório p/ o vestibular, na época aprendemos a calcular determinantes de matrizes 3 por 3 e pesquisando sobre determinantes encontrei uma fórmula chamada " leibniz formula for determinants " . Acredite ou não , me senti muito motivado a estudar matemática a cada vez que olhava aquela fórmula elegante , achava aquilo incrível ! (uma pena que do ponto de vista prático é mais rápido calcular determinantes aplicando operações elementares a fim de triangularizar a matriz , ou mesmo utilizando decomposição LU , digo isso hoje , claro ) , mesmo não entendendo nada .
Só aprendi sobre somatórios e produtórios quando iniciei o curso na universidade .

Você mencionou sobre infinito , não se preocupe ! Ele é inimaginável por todos nós , nenhuma mente humana é capaz de imaginar ele .Acho ele fascinante , não acha ?
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Re: Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Mensagempor Flawyo » Qua Mai 21, 2014 14:54

Olá Santhiago,

Eu na verdade ainda tenho medo da própria matemática. Eu não tive uma boa história com meus professores de matemática.

Nos meus últimos dias de aula do 3º ano do Ensino Médio, por acaso eu acabei contando a um colega que meu sonho era estudar na USP. Esse colega contou para todos os outros, até que isso chegou ao ouvido do professor de Matemática. Estávamos na aula dele. E, ele era um dos padrinhos da nossa turma. Logo que este professor ficou sabendo, ele gritou para todos: "Então o fulano quer estudar em uma das melhores Universidades do país?". Ao dizer isso, ele começou a rir... Ele ria sem parar, e logo todos estavam rindo de mim e do meu sonho. Eu respirei fundo, porque não queria chorar na frente deles... Eu então, levantei do meu lugar e fui até a frente da sala e diante dele eu disse gaguejando: "Você ri de mim e esqueci que ri de você mesmo... Afinal, quem foi meu professor de matemática desde a Oitava Série até hoje?". Obviamente, ele parou de rir, mas respondeu dizendo que eu já estava reprovado na disciplina dele. E estaria mesmo, se a Diretora da Escola não fosse madrinha da nossa turma e tivesse entrado no meio desta história.

Minha vida se resume ao fracasso escolar nas disciplinas relacionadas a exatas. E depois desta última experiência, eu chorei durante vários dias, porque eu sabia que por mais que meu Professor tivesse cometido um erro, ele tinha razão, eu não tinha conhecimento suficiente de exatas para disputar uma vaga na USP. E o pior eu achava que eu era culpado por isso. Achava que eu tinha algum problema mental ou neurológico. E desisti da USP, desisti de medicina, porque achava que não daria conta.

Fui me dedicar ao que muito sabia, eu era bom entendedor da filosofia, da biologia, da poesia. Desde cedo eu ganhei concursos de redação. Logo, me decidi pela psicologia, um curso relacionado com o que eu gostava e nada de matemática, pensava eu. Para meu espanto, no primeiro semestre eu me deparei com a estatística aplicada à psicologia e sem saber nada de matemática eu só queria fazer pesquisas tendo como arcabouço a estatística, eu ficava fascinado com números e cálculos. Supri minha deficiência aprendendo a teoria e usando programas para os cálculos. A pesquisa que resultou no meu TCC foi baseada inteiramente na estatística, em cálculos de significância.

Então, a psicologia me confrontou várias vezes com esse medo dos números e a paixão pelas letras. Me lembrei da medicina que tinha abandonado.
Um dia eu decidi ir atrás do por que eu não tinha aprendido matemática. Fui em neurologista, psicopedagogo, pedagogo etc. Ninguém soube responder. Eu era normal! Tomografia do cérebro sem lesões, não havia presença de discalculia, nada.

Sem saber para quem ou para onde ir, para resolver isso, andando no centro da minha cidade e pensando no que fazer eu me deparei com o Kumon. Mesmo desconfiado de que eu poderia não aprender nada lá, afinal, nunca tinha aprendido nada além de contar ou operar cálculos simples, eu aceitei o desafio. E entrei.

Em 2 anos eu já sabia muito mais de matemática, do que em 13 anos de vida escolar. E agora com 3 anos (isso, porque eu fique alguns meses doente) eu estou concluindo o Kumon, sabendo infinitamente mais. Não há como comparar.

Mais os fantasmas estão todos por aqui ainda. Tem dias que eu não acredito no que sei. O pessoal do Kumon diz que isso é claramente uma limitação para mim.

Enfim, minha modéstia, tem muitos significados.
Eu concordo com você sobre a beleza dos símbolos na matemática. Mas, se às vezes eu tenho medo dos números, imagina os símbolos (risos). Eu, entendo boa parte deles, mas meus bloqueios às vezes me impedem de ir adiante.

Você falando do seu encantamento com Leibniz, eu me lembrei do meu deslumbramento com Euler ao propor seus números e a fórmula da identidade. Eu não entendo aquela fórmula, mas fiquei fascinado nela e ela me motiva a continuar com a matemática, assim, como os estudos de Agnesi. Como aquela mulher conseguiu pegar os estudos de Newton e Leibniz e entendê-los a tal ponto de simplificá-los é de tirar o chapéu.

Por fim, pois, já me prolonguei demais. O infinito é algo realmente impressionante, afinal, onde quer que olhemos lá está ele, especialmente na natureza.

Então, só posso dizer a você que mesmo com os contratempos que mencionei, a matemática é sim apaixonante, principalmente porque ela é abstrata tal como as letras antes de formar uma palavra. E atualmente, penso numa forma de integrar a matemática, a psicologia e a medicina. Eu acho que encontrei, num antigo projeto que escrevi a respeito da nanotecnologia.

Uma ótima semana para você!
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Re: Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Mensagempor e8group » Sáb Mai 24, 2014 16:43

Caro Flávio de S. Rodrigues , acabei de ler seu post , realmente não sei o que argumentar , o tópico acabou estendendo para assuntos talvez um pouco fora da matemática por parte de ambos ,que é normal ! Parabéns pelo esforço e boa sorte nos estudos .
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Re: Máximo e Mínimo de Função Cúbica com Intervalos

Mensagempor Flawyo » Ter Mai 27, 2014 14:06

Olá Santhiago,

Eu o compreendo. Realmente nos estendemos para além da matemática. Agradeço por seu incentivo e mais uma vez por me acompanhar em minha dúvida matemática.

Grato,

Flávio de S. Rodrigues.
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.