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[Limite do produto] Dúvida na demonstração

[Limite do produto] Dúvida na demonstração

Mensagempor BlackSabbathRules » Sex Mai 09, 2014 16:56

Gostaria que alguém me explicasse a demonstração para o limite do produto de duas funções existente neste link:
http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Limites_e_Continuidade#Limites

Estou tendo problemas no entendimento dos seguintes passos:
1. \left|f(x)-1 \right|<1 , não sei de onde o 1 veio;
2. \left|g(x)-M \right|<\frac{p}{\left|L \right|-1}
3. \left|f(x)-L \right|<\frac{k}{\left|M \right|+1}
Em 2 e 3 eu não entendi o membro da direita da desigualdade.
Obrigado desde já.
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Re: [Limite do produto] Dúvida na demonstração

Mensagempor e8group » Sex Mai 09, 2014 18:13

Vendo o artigo , acho que você quis dizer |f(x) - L | < 1 . Vê se lá que faz-se hipótese que o limite \lim_{x\to a} f(x) = L existe o que significa que para cada \epsilon > 0 dado , existe \delta > 0 tal que |f(x) - L| < \epsilon sempre que x \in D_f satisfaz 0 <|x-a| < \delta . Em particular se tomarmos \epsilon = 1 existe \delta' > 0 tq 0< |x-a| < \delta' \implies   |f(x)- L| < 1 .

Certo ?
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Re: [Limite do produto] Dúvida na demonstração

Mensagempor BlackSabbathRules » Sex Mai 09, 2014 21:55

A escolha de Epsilon=1 foi arbitrária? E quanto as outras duas situações, você saberia explicar?
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Re: [Limite do produto] Dúvida na demonstração

Mensagempor e8group » Sáb Mai 10, 2014 15:23

Ok , vamos tentar ,não vou formalizar (tenta fazer isso), respondo sem objetividade e com mais detalhes . Só mudando as notações e seguindo a mesma linha de raciocínio .

Faz-se hipótese que \lim_{x \to a} f(x) = M , \lim_{x \to a} g(x) = L, isto é ,

i) Para todo \epsilon_1 > 0 dado , existe um [t] \delta_1 > 0 (dependente de \epsilon_1 > 0 ) tal que se x pertence a(a-\delta_1 ,a+ \delta_1) \setminus\{a\}  (.\equiv . 0<|x-a|< \delta_1) então f(x) [f avaliado em x] está no intervalo (M -\epsilon_1 , M +\epsilon_1) (.\equiv.  |f(x) - M| < \epsilon_1 ) .

OBS.1. Para estabelecer uma relação entre \epsilon_1 e \delta_1 as notações entre parêntesis são mais convenientes .

OBS.2. Excluímos o ponto a do intervalo para enfatizar que a função não necessariamente está definida em a ( possa ser que a \notin D_f) . Mas, uma condição é necessária , f obrigatoriamente deve está definida em (a-\delta_1 ,a + \delta_1) \setminus\{a\} ,em outras palavras D_f \supset  (a-\delta_1 ,a + \delta_1) \setminus\{a\} .

OBS.3. Se alguma propriedade P(x) é verdadeira sempre que x \in  I_1 \subset \mathbb{R} .Se \varnothing \neq   I_2 \subset I_1 então x \in I_2 \implies  P(x) . No momento certo vamos fazer menção a está observação .

ii) Da mesma forma definimos o segundo limite .

Agora queremos mostrar que \lim_{x\to a} (fg)(x) = LM . Como em todas demostrações , rascunhamos de trás para frente . Escreva f(x) = (f(x) - M) + M ( o mesmo para g , usando L ) e utilize desigualdade triangular para obtermos

|fg(x)- LM | \leq |M| |f(x)- M| + |L||g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M| < (|M|+1)|f(x)- M| + (|L|+1)|g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M|

(pois |M| +1 > |M| e |L| +1  > |L| .

(Observe que |M|+ 1  >   0 para todo M, enquanto nem sempre |M | >0(possa ser que M = 0 , assim em geral não podemos definir \epsilon/(3|M|) a menos que considerarmos 1° M = 0 e depois diferente de zero . Veremos isto a seguir )

Se dado qualquer \epsilon > 0 encontramos um \delta  > 0
correspondente tal que cada parcela seja menor ou igual a \epsilon/3 ,então por transitividade [Se A> B e B > C então A > C ] o resultado segue . E é isto que vamos fazer .

Para todo \epsilon > 0 dado , temos que \frac{\epsilon}{3(|m|+1)}, \frac{\epsilon}{3(|L|+1)},    \sqrt{\frac{\epsilon}{3}} > 0 . Assim dá hipótese dos limites existirem , segue de (i) e (ii) que existe \delta_1 ,\delta_2 , \delta_3 , \delta_4 > 0 para os quais

x \in (a-\delta_1 , a + \delta_1) \setminus\{a\} \implies |f(x)- M| < \frac{\epsilon}{3(|M|+1)}

x \in (a-\delta_2, a + \delta_2) \setminus\{a\} \implies |g(x)- L| < \frac{\epsilon}{3(|L|+1)}

x \in (a-\delta_3 , a + \delta_3) \setminus\{a\} \implies |f(x)- M| < \sqrt{\frac{\epsilon}{3}}

x \in  (a-\delta_4 , a + \delta_4) \setminus\{a\} \implies |g(x)- L| < \sqrt{\frac{\epsilon}{3}}

Agora defina \delta := min \{ \delta_1 , \delta_2 , \delta_3, \delta_4 \} . Note que \delta > 0 e (a -\delta , a+  \delta)\setminus\{a\} \subset (a -\delta_i , a+  \delta_i) \setminus\{a\} para cada i=1,2,3,4(Pq?) .
(Por isso adotei esta notação , para notares que todas vizinhanças de a acima contém (a -\delta , a+  \delta)\setminus\{a\} ) [Usando a notação mais comum também é fácil ver , \delta \leq \delta_i e se |x-a| < \delta , por transitividade , |x-a| < \delta_i ](i=1,2,3,4).

Dá observação 3 seque-se que

x \in (a -\delta , a+  \delta)\setminus\{a\} ( .\equiv . 0 <|x-a | < \delta) então todas implicações acima são verdadeiras . Daí ,

|fg(x)- LM | \leq |M||f(x)- M| + |L||g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M| < (|M|+1)|f(x)- M| + (|L|+1)|g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M| < \frac{ \epsilon}{3} + \frac{ \epsilon}{3} + \frac{ \epsilon}{3} .

Impressionante a qualidade do artigo , muito bem escrito . Porém há um erro de digitação lá que é muito comum (por isso estou aq editando meu erros de digitação ) , acredito que a intenção era escrever |g(x) - M| < \frac{p}{|L| +1 } ao invés de \frac{p}{|L| -1  } (pq isto automaticamente implica que L \neq 1 e podemos ter g(x) \neq 1 e L = 1 ) . Observe que troquei M por L , mas acho que não atrapalhará no entendimento .
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?