[Limite do produto] Dúvida na demonstração

por **BlackSabbathRules** » Sex Mai 09, 2014 16:56

Gostaria que alguém me explicasse a demonstração para o limite do produto de duas funções existente neste link:
http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Limites_e_Continuidade#Limites

Estou tendo problemas no entendimento dos seguintes passos:
1. $\left|f(x)-1 \right|<1$ , não sei de onde o 1 veio;
2. $\left|g(x)-M \right|<\frac{p}{\left|L \right|-1}$
3. $\left|f(x)-L \right|<\frac{k}{\left|M \right|+1}$
Em 2 e 3 eu não entendi o membro da direita da desigualdade.
Obrigado desde já.

por **e8group** » Sex Mai 09, 2014 18:13

Vendo o artigo , acho que você quis dizer |f(x) - L | < 1

. Vê se lá que faz-se hipótese que o limite $\lim_{x\to a} f(x) = L$ existe o que significa que para cada $\epsilon > 0$ dado , existe $\delta > 0$ tal que $|f(x) - L| < \epsilon$ sempre que $x \in D_f$ satisfaz $0 <|x-a| < \delta$ . Em particular se tomarmos $\epsilon = 1$ existe $\delta' > 0$ tq $0< |x-a| < \delta' \implies |f(x)- L| < 1$ .

Certo ?

por **BlackSabbathRules** » Sex Mai 09, 2014 21:55

A escolha de Epsilon=1 foi arbitrária? E quanto as outras duas situações, você saberia explicar?

por **e8group** » Sáb Mai 10, 2014 15:23

Ok , vamos tentar ,não vou formalizar (tenta fazer isso), respondo sem objetividade e com mais detalhes . Só mudando as notações e seguindo a mesma linha de raciocínio .

Faz-se hipótese que $\lim_{x \to a} f(x) = M , \lim_{x \to a} g(x) = L$ , isto é ,

i) Para todo $\epsilon_1 > 0$ dado , existe um [t] $\delta_1 > 0$ (dependente de $\epsilon_1 > 0$ ) tal que se

pertence a $(a-\delta_1 ,a+ \delta_1) \setminus\{a\} (.\equiv . 0<|x-a|< \delta_1$ ) então f(x)

[f avaliado em x] está no intervalo $(M -\epsilon_1 , M +\epsilon_1) (.\equiv. |f(x) - M| < \epsilon_1 )$ .

OBS.1. Para estabelecer uma relação entre $\epsilon_1$ e $\delta_1$ as notações entre parêntesis são mais convenientes .

OBS.2. Excluímos o ponto

do intervalo para enfatizar que a função não necessariamente está definida em

( possa ser que $a \notin D_f$ ) . Mas, uma condição é necessária ,

obrigatoriamente deve está definida em $(a-\delta_1 ,a + \delta_1) \setminus\{a\}$ ,em outras palavras $D_f \supset (a-\delta_1 ,a + \delta_1) \setminus\{a\}$ .

OBS.3. Se alguma propriedade P(x)

é verdadeira sempre que $x \in I_1 \subset \mathbb{R}$ .Se $\varnothing \neq I_2 \subset I_1$ então $x \in I_2 \implies P(x)$ . No momento certo vamos fazer menção a está observação .

ii) Da mesma forma definimos o segundo limite .

Agora queremos mostrar que $\lim_{x\to a} (fg)(x) = LM$ . Como em todas demostrações , rascunhamos de trás para frente . Escreva f(x) = (f(x) - M) + M

( o mesmo para g , usando L ) e utilize desigualdade triangular para obtermos

$|fg(x)- LM | \leq |M| |f(x)- M| + |L||g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M| < (|M|+1)|f(x)- M| + (|L|+1)|g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M|$

(pois |M| +1 > |M|

e

.

(Observe que |M|+ 1 > 0

para todo M, enquanto nem sempre |M | >0

(possa ser que M = 0

, assim em geral não podemos definir $\epsilon/(3|M|)$ a menos que considerarmos 1° M = 0 e depois diferente de zero . Veremos isto a seguir )

Se dado qualquer $\epsilon > 0$ encontramos um $\delta > 0$
correspondente tal que cada parcela seja menor ou igual a $\epsilon/3$ ,então por transitividade [Se A> B

e

então

] o resultado segue . E é isto que vamos fazer .

Para todo $\epsilon > 0$ dado , temos que $\frac{\epsilon}{3(|m|+1)}, \frac{\epsilon}{3(|L|+1)}, \sqrt{\frac{\epsilon}{3}} > 0$ . Assim dá hipótese dos limites existirem , segue de (i) e (ii) que existe $\delta_1 ,\delta_2 , \delta_3 , \delta_4 > 0$ para os quais

$x \in (a-\delta_1 , a + \delta_1) \setminus\{a\} \implies |f(x)- M| < \frac{\epsilon}{3(|M|+1)}$

$x \in (a-\delta_2, a + \delta_2) \setminus\{a\} \implies |g(x)- L| < \frac{\epsilon}{3(|L|+1)}$

$x \in (a-\delta_3 , a + \delta_3) \setminus\{a\} \implies |f(x)- M| < \sqrt{\frac{\epsilon}{3}}$

$x \in (a-\delta_4 , a + \delta_4) \setminus\{a\} \implies |g(x)- L| < \sqrt{\frac{\epsilon}{3}}$

Agora defina $\delta := min \{ \delta_1 , \delta_2 , \delta_3, \delta_4 \}$ . Note que $\delta > 0$ e $(a -\delta , a+ \delta)\setminus\{a\} \subset (a -\delta_i , a+ \delta_i) \setminus\{a\}$ para cada

(Pq?) .
(Por isso adotei esta notação , para notares que todas vizinhanças de

acima contém $(a -\delta , a+ \delta)\setminus\{a\}$ ) [Usando a notação mais comum também é fácil ver , $\delta \leq \delta_i$ e se $|x-a| < \delta$ , por transitividade , $|x-a| < \delta_i$ ](i=1,2,3,4).

Dá observação

seque-se que

$x \in (a -\delta , a+ \delta)\setminus\{a\} ( .\equiv . 0 <|x-a | < \delta)$ então todas implicações acima são verdadeiras . Daí ,

$|fg(x)- LM | \leq |M||f(x)- M| + |L||g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M| < (|M|+1)|f(x)- M| + (|L|+1)|g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M| < \frac{ \epsilon}{3} + \frac{ \epsilon}{3} + \frac{ \epsilon}{3}$ .

Impressionante a qualidade do artigo , muito bem escrito . Porém há um erro de digitação lá que é muito comum (por isso estou aq editando meu erros de digitação ) , acredito que a intenção era escrever $|g(x) - M| < \frac{p}{|L| +1 }$ ao invés de $\frac{p}{|L| -1 }$ (pq isto automaticamente implica que $L \neq 1$ e podemos ter $g(x) \neq 1$ e L = 1