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[Limite do produto] Dúvida na demonstração

[Limite do produto] Dúvida na demonstração

Mensagempor BlackSabbathRules » Sex Mai 09, 2014 16:56

Gostaria que alguém me explicasse a demonstração para o limite do produto de duas funções existente neste link:
http://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_1)/Limites_e_Continuidade#Limites

Estou tendo problemas no entendimento dos seguintes passos:
1. \left|f(x)-1 \right|<1 , não sei de onde o 1 veio;
2. \left|g(x)-M \right|<\frac{p}{\left|L \right|-1}
3. \left|f(x)-L \right|<\frac{k}{\left|M \right|+1}
Em 2 e 3 eu não entendi o membro da direita da desigualdade.
Obrigado desde já.
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Re: [Limite do produto] Dúvida na demonstração

Mensagempor e8group » Sex Mai 09, 2014 18:13

Vendo o artigo , acho que você quis dizer |f(x) - L | < 1 . Vê se lá que faz-se hipótese que o limite \lim_{x\to a} f(x) = L existe o que significa que para cada \epsilon > 0 dado , existe \delta > 0 tal que |f(x) - L| < \epsilon sempre que x \in D_f satisfaz 0 <|x-a| < \delta . Em particular se tomarmos \epsilon = 1 existe \delta' > 0 tq 0< |x-a| < \delta' \implies   |f(x)- L| < 1 .

Certo ?
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Re: [Limite do produto] Dúvida na demonstração

Mensagempor BlackSabbathRules » Sex Mai 09, 2014 21:55

A escolha de Epsilon=1 foi arbitrária? E quanto as outras duas situações, você saberia explicar?
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Re: [Limite do produto] Dúvida na demonstração

Mensagempor e8group » Sáb Mai 10, 2014 15:23

Ok , vamos tentar ,não vou formalizar (tenta fazer isso), respondo sem objetividade e com mais detalhes . Só mudando as notações e seguindo a mesma linha de raciocínio .

Faz-se hipótese que \lim_{x \to a} f(x) = M , \lim_{x \to a} g(x) = L, isto é ,

i) Para todo \epsilon_1 > 0 dado , existe um [t] \delta_1 > 0 (dependente de \epsilon_1 > 0 ) tal que se x pertence a(a-\delta_1 ,a+ \delta_1) \setminus\{a\}  (.\equiv . 0<|x-a|< \delta_1) então f(x) [f avaliado em x] está no intervalo (M -\epsilon_1 , M +\epsilon_1) (.\equiv.  |f(x) - M| < \epsilon_1 ) .

OBS.1. Para estabelecer uma relação entre \epsilon_1 e \delta_1 as notações entre parêntesis são mais convenientes .

OBS.2. Excluímos o ponto a do intervalo para enfatizar que a função não necessariamente está definida em a ( possa ser que a \notin D_f) . Mas, uma condição é necessária , f obrigatoriamente deve está definida em (a-\delta_1 ,a + \delta_1) \setminus\{a\} ,em outras palavras D_f \supset  (a-\delta_1 ,a + \delta_1) \setminus\{a\} .

OBS.3. Se alguma propriedade P(x) é verdadeira sempre que x \in  I_1 \subset \mathbb{R} .Se \varnothing \neq   I_2 \subset I_1 então x \in I_2 \implies  P(x) . No momento certo vamos fazer menção a está observação .

ii) Da mesma forma definimos o segundo limite .

Agora queremos mostrar que \lim_{x\to a} (fg)(x) = LM . Como em todas demostrações , rascunhamos de trás para frente . Escreva f(x) = (f(x) - M) + M ( o mesmo para g , usando L ) e utilize desigualdade triangular para obtermos

|fg(x)- LM | \leq |M| |f(x)- M| + |L||g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M| < (|M|+1)|f(x)- M| + (|L|+1)|g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M|

(pois |M| +1 > |M| e |L| +1  > |L| .

(Observe que |M|+ 1  >   0 para todo M, enquanto nem sempre |M | >0(possa ser que M = 0 , assim em geral não podemos definir \epsilon/(3|M|) a menos que considerarmos 1° M = 0 e depois diferente de zero . Veremos isto a seguir )

Se dado qualquer \epsilon > 0 encontramos um \delta  > 0
correspondente tal que cada parcela seja menor ou igual a \epsilon/3 ,então por transitividade [Se A> B e B > C então A > C ] o resultado segue . E é isto que vamos fazer .

Para todo \epsilon > 0 dado , temos que \frac{\epsilon}{3(|m|+1)}, \frac{\epsilon}{3(|L|+1)},    \sqrt{\frac{\epsilon}{3}} > 0 . Assim dá hipótese dos limites existirem , segue de (i) e (ii) que existe \delta_1 ,\delta_2 , \delta_3 , \delta_4 > 0 para os quais

x \in (a-\delta_1 , a + \delta_1) \setminus\{a\} \implies |f(x)- M| < \frac{\epsilon}{3(|M|+1)}

x \in (a-\delta_2, a + \delta_2) \setminus\{a\} \implies |g(x)- L| < \frac{\epsilon}{3(|L|+1)}

x \in (a-\delta_3 , a + \delta_3) \setminus\{a\} \implies |f(x)- M| < \sqrt{\frac{\epsilon}{3}}

x \in  (a-\delta_4 , a + \delta_4) \setminus\{a\} \implies |g(x)- L| < \sqrt{\frac{\epsilon}{3}}

Agora defina \delta := min \{ \delta_1 , \delta_2 , \delta_3, \delta_4 \} . Note que \delta > 0 e (a -\delta , a+  \delta)\setminus\{a\} \subset (a -\delta_i , a+  \delta_i) \setminus\{a\} para cada i=1,2,3,4(Pq?) .
(Por isso adotei esta notação , para notares que todas vizinhanças de a acima contém (a -\delta , a+  \delta)\setminus\{a\} ) [Usando a notação mais comum também é fácil ver , \delta \leq \delta_i e se |x-a| < \delta , por transitividade , |x-a| < \delta_i ](i=1,2,3,4).

Dá observação 3 seque-se que

x \in (a -\delta , a+  \delta)\setminus\{a\} ( .\equiv . 0 <|x-a | < \delta) então todas implicações acima são verdadeiras . Daí ,

|fg(x)- LM | \leq |M||f(x)- M| + |L||g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M| < (|M|+1)|f(x)- M| + (|L|+1)|g(x) -L| + |g(x) - L||f(x) - M| < \frac{ \epsilon}{3} + \frac{ \epsilon}{3} + \frac{ \epsilon}{3} .

Impressionante a qualidade do artigo , muito bem escrito . Porém há um erro de digitação lá que é muito comum (por isso estou aq editando meu erros de digitação ) , acredito que a intenção era escrever |g(x) - M| < \frac{p}{|L| +1 } ao invés de \frac{p}{|L| -1  } (pq isto automaticamente implica que L \neq 1 e podemos ter g(x) \neq 1 e L = 1 ) . Observe que troquei M por L , mas acho que não atrapalhará no entendimento .
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.