Nesses exercícios de "...dada reta tangente determine a função tal que..." ou "...dada função calcule a reta tangente no pon..." é conveniente calcular uma fórmula simples que, dado ponto, você é capaz de calcular rapidamente a equação da reta tangente ao gráfico da função, ou vise-versa.
Seja a equação da reta
,
. Sabemos que, se essa reta é tangente ao gráfico de
no ponto
, então
.
Isto é, a constante
é a derivada da função calculada no ponto de tangência.
Daí, como em
temos de ter
, então
e, portanto,
é a reta tangente a
no ponto
.
Já que no exercício diz que
em
então, por comparação,
de onde
e
.
Agora, como você sabe que o gráfico é de uma parábola, tome
de onde
. OBS: este
e
não tem nada que ver com a dedução da equação da reta tangente que fizemos anteriormente.
Como e visível que o gráfico passa pelo ponto
, então
.
Substituindo na relação encontrada, vem que
Chegamos em um sistema
em
e
. Podemos resolve-lo de diversas formas. Eu acho mais rápido somar as duas equações, já que o coeficiente de
automaticamente se cancela. Fazendo isso,
e, portanto,
.
Logo, a parábola é