integral

por **ilane** » Sáb Abr 26, 2014 13:58

ilane escreveu:\int_{-1}^{1} xe^x^2 dx
tenho que calcular essa integral e cheguei na seguinte resposta gostaria de saber se está certa ou não

\int_{-1}^{1} e ^x^2 x ^x^2 . dx \approx1.50033+0,691773i

uum colega me deu a seguinte resposta :

santhiago escreveu:Numero complexo ??

A integral é essa $\int_{-1}^{1} x^3e^{x^2} dx$ ? Se for nem precisa fazer contas , a resposta é zero . A teoria abaixo justifica isto .

Fixemos e definamos $f : [-a,a] \mapsto \mathbb{R}$ contínua (ou número de descontinuidade finito )[hipótese para garanti a integrabilidade de f ] e além disso suponha uma função ímpar , isto é $f(x) = - f(-x) \forall x \in [-a,a]$ . Agora veja ...

$\int_{-a}^{a} f(x)dx =\int_{-a}^{0} f(x)dx + \int_{0}^a f(x)dx = \int_{-a}^{0} f(u)du + \int_{0}^a f(x)dx$ .

Como f é impar $\int_{-a}^{0} f(u)du = \int_{0}^{-a} f(-u)du$ . Fazendo , temos e os limites de integração .Assim , $\int_{-a}^{0} f(u)du = - \int_{0}^{a} f(x)dx$ . E portanto ,

$\int_{-a}^{a} f(x)dx =\int_{-a}^{0} f(x)dx + \int_{0}^a f(x)dx = \int_{-a}^{0} f(u)du + \int_{0}^a f(x)dx = - \int_{0}^a f(x)dx + \int_{0}^a f(x)dx = 0$ .

Conclusão : o resultado de integrais definidas (cujos limites de integração são simétricos um do outro ) em relação a função impares (que satisfaz as condições de ser integrável = ser contínua ou contínua por partes ) será sempre zero .