Limites

por **marinalcd** » Sex Abr 18, 2014 16:48

Boa tarde,

estou estudando limites pela definição (por $\epsilon e \delta$ ).

E tenho os seguintes limites: $\lim_{\infty} a{x}^{13}+b{x}^{2} = \infty$ e $\lim_{-\infty} a{x}^{13}+b{x}^{2} = -\infty$ .
Como provo pela definição de limites (epsilon e delta) que os limites acima são verdadeiros? Já tentei resolver mas não consigo provar.

por **e8group** » Sex Abr 18, 2014 21:20

Infinito é uma quantidade ilimitada que é maior que qualquer número real .

O que significa dizer :

(i) $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$ ?

(ii) $\lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty$ ?

Expectativa :

(i) Im(f)

não é limitado superiormente e não importa o quão grande seja M > 0

, será sempre possível determinar N > 0

tal que $x > N \implies f(x) > M$ .

(ii)

Im(f)

não é limitado inferiormente e não importa o quão grande seja M < 0

(negativo), será sempre possível determinar N < 0

tal que $x < N \implies f(x) < M$ .

Exemplo :

Considere $p(x) = 3x^2 + \pi x + x e^x$ .Dado , M > 0

, seja $N = \sqrt{\frac{M}{4+\pi}} > 0$

Temos que se x > N

então $x^2 > N^2 = \frac{M}{4+\pi}} \implies 3x^2 + \pi x^2 + x^2 =x^2(4+\pi) > M$ . Por outro lado , e^x > x ; x^2 > x

, logo $p(x) = x^2 + \pi x + x e^x > 3x^2 + \pix^2 + x^2$ e com isso p(x) > M

.

$\lim_{x\to +\infty} p(x) = + \infty .\equiv . \forall M > 0 , \exists N = N(M) > 0 ; x > N \implies p(x) > M$ .

Se quer rigor consulte um livro de cálculo 1 como Calculus do Spivak ( cálculo analítico) ou análise real .

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