Cálculo: limite com raiz dentro de raiz

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Cálculo: limite com raiz dentro de raiz

Mensagempor roberto_trebor » Sáb Fev 15, 2014 20:45

20140215_204122.jpg
Boa noite,

estava fazendo um exercício de calculo e fiquei com muita dúvida sobre um exercício, no qual, apresentava uma raiz cúbica dentro de uma quadrada.

\lim_{x\to +\8} \sqrt{2 + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \2/x-8

vou enviar uma foto para ficar mais fácil a compreensão
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Re: Cálculo: limite com raiz dentro de raiz

Mensagempor Man Utd » Dom Fev 16, 2014 17:58

\lim_{ x \to 8 } \; \frac{ \sqrt{2+\sqrt[3] {x}}-2}{x-8}

u=\sqrt[3] x \; \Leftrightarrow \; u^{3}=x \;\;\;\;\;\; x \to 8 \; , \; u \to 2 :


\lim_{ u \to 2} \; \frac{\sqrt{2+u}-2}{u^{3}-8}


\lim_{ u \to 2} \; \frac{(\sqrt{2+u}-2)*(\sqrt{2+u}+2)}{(u^{3}-8{)*(\sqrt2+u}+2)}


\lim_{ u \to 2} \; \frac{2+u-4}{(u^{3}-8)*(\sqrt{2+u}+2)}


\lim_{ u \to 2} \; \frac{u-2}{(u^{3}-8)*(\sqrt{2+u}+2)}


\lim_{ u \to 2} \; \frac{(u-2)}{(u-2)*(u^2+2u+4)*(\sqrt{2+u}+2)}


\lim_{ u \to 2} \; \frac{1}{(u^2+2u+4)*(\sqrt{2+u}+2)}


só calcular para obter a resposta :D , se tiver dúvida só falar.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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