[SÉRIE] teste da integral

por **magellanicLMC** » Qua Fev 05, 2014 20:38

determine pelo teste da integral se a série é convergente ou divergente
$\sum_{2}^{\infty} \frac{1}{nln(n)}$
eu sei fazer o teste (é divergente) mas n consigo desenvolver as condições que seriam:
1) ser decrescente (provando pelo teste da derivada primeira
2) ter termos positivos p/ $x\succeq1$ e ser contínua
mas n consigo calcular a derivada primeira (acredito que seja pela regra do quociente)

por **e8group** » Qui Fev 06, 2014 11:55

Dica :

Defina $f : (1,+\infty) \mapsto \mathbb{R} ; f(x) = \frac{1}{xln(x)}$ e considere $a_n = f(n) , n = 2 ,3,4, \hdots$ .

(i) Sempre n+1 > n

,então

... ( qualquer função logarítmica é estritamente monótona)

(ii) Mostrar que $f(n) > 0 , \forall n$ é o suficiente mostrar que $ln(n) > 0 , \forall n$ . Para tal , basta usar que n > 1

e que qualquer função logarítmica é estritamente monótona .Quanto a continuidade , se a > 1

então o limite da função quando $x \to a$ é o próprio valor da função no ponto

(Fácil verificar) .

É isso . Espero que ajude .

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