[Coordenadas Cilíndricas] Integral Tripla

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[Coordenadas Cilíndricas] Integral Tripla

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[Coordenadas Cilíndricas] Integral Tripla

Mensagempor raimundoocjr » Sáb Dez 14, 2013 11:07

(Livro: Cálculo - Autor: James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição - Q. 17 - Pág.: 925)
Utilize coordenadas cilíndricas.
Calcule \iiint_E \sqrt{x^2+y^2}dV, onde E é a região que está dentro do cilindro x²+y²=16 e entre os planos z=-5 e z=4.


Resposta: 384\pi
raimundoocjr
 
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Re: [Coordenadas Cilíndricas] Integral Tripla

Mensagempor Russman » Dom Dez 15, 2013 02:55

O primeiro passo é observar a simetria da região de interesse. Obviamente, a simetria é cilíndrica. Assim, você deve escrever o diferencial de volume em coordenadas cilíndricas bem como a função do integrando.
Lembre-se que dV=r dr d\theta dz, onde r^2=x^2+y^2. Logo, a integral será

I = \int \int \int rrdrd\theta dz = \int \int \int r^2drd\theta dz.

Os limites de integração são imediatos. A coordenada z varia de -5 a 4 e a coordenada angular de 0 a 2 \pi. Agora, como a região de integração é um cilindro de raio r=4 e centrado em (x,y)=(0,0), basta fazer r variando de 0 a 4.

Portanto,

I = \int_{-5}^{4} \int_{0}^{2 \pi}\int_{0}^{4} r^2drd\theta dz.

Divirta-se.
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Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



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Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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