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Última mensagem por Janayna
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por Victor Mello » Dom Nov 17, 2013 12:20
Galera, eu estava tentando esboçar o gráfico da função
. E tuda estava dando certo.
Derivei essa função e achei os pontos críticos, que são x=2 ou x=-2 e também
ou
Feito isso, eu derivei novamente essa função (no caso a segunda derivada) para verificar se os pontos críticos são pontos de máximo ou ponto de mínimo. E pelo que calculei, o x=2 é o ponto de máximo (segunda derivada é negativa) e também côncavo para baixo, e x=-2 é o ponto de mínimo (segunda derivada é positiva) e também côncavo para cima. Mas para
e
a segunda derivada não existe (joguei tudo pela calculadora pois é muito trabalho fazer tudo a mão), então não podemos afirmar nada se esses pontos são de máximo ou de mínimo. Mas eu sei que o x=0 é o ponto de inflexão, pois a segunda derivada é nula para esse ponto.
OBS: deu muito trabalho para derivar essa função, pois é uma função polinominal junto com a raíz. Isso vira um jogo de regra da cadeia.
Feito isso eu esbocei o gráfico e ficou assim:
Mínimo local em x=-2 máximo local em x=2
Porém, o gabarito deu também que tem máximos e mínimos absolutos que é x=2 e x=-2 respectivamente, e máximo local em
e mínimo local em
, além de x=2 e x=-2 que achei. Eu não entendi o motivo da existência de extremos absolutos, transferi tudo para o software gráfico e esse gráfico ficou muito parecido com o meu, e o gabarito está dizendo que faltou alguma coisa. Alguém poderia me ajudar a verificar esse misterioso gráfico? Eu Agradeço se alguém puder
Abraço.
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Victor Mello
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por e8group » Dom Nov 17, 2013 15:39
A função
é contínua no intervalo fechado
(Este é o maior intervalo para o qual a função está definida) ,então pelo Teorema de Weierstrass está função possui um valor máximo absoluto e mínimo absoluto em
.
É bem provável que esta função assuma valor máximo/mínimo absoluto nos pontos do extremo do intervalo ou nos pontos críticos encontrados.
Basta comparar a imagens destes pontos (críticos e dos extremos do intervalo) por
,verificando quais são maiores ,menores .
OBS .: Observe que a função não está definida para pontos fora do intervalo I , pois, pontos tomados em
são levados em imagem complexas por
e estamos trabalhando com funções cujo domínio e contra-domínio são subconjuntos de
.
Portanto deve corrigir o esboço do gráfico .
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e8group
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por Victor Mello » Dom Nov 17, 2013 16:35
Ahhh é verdade! Nem tinha percebido que o domínio dessa função também varia de
para
. Então quer dizer que os pontos críticos
e
também são extremos dos intervalos? Agora clareou um pouco, pois já que o intervalo do domínio é dessa forma, então realmente os extremos absolutos são x=-2 e x=2. Agora quero entender: Já que o intervalo do domínio é assim, eu ainda não estou enxergando de onde veio os pontos de máximo e mínimo local em
e
respectivamente, é o que o gabarito mostrou. A imagem desses pontos é zero, e dos pontos críticos 2 e -2 são: 4 e -4 respectivamente. Mas valeu pelo detalhe.
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Victor Mello
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por e8group » Dom Nov 17, 2013 18:54
Não é possível determinar intervalos abertos
contendo um dos extremos do intervalo
,então como tais pontos são considerados extremos locais ?
Observe que se
fosse ponto de máximo local de
então existiria uma vizinhança
de
(i.e, um intervalo aberto
contendo
) tal que
, mas acontece que não existe esta vizinhança
de
.Pelo mesmo argumento ,pode-se concluir que
não é mínimo local .
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por Victor Mello » Dom Nov 17, 2013 19:16
Pois é... Eu estava suspeitando isso. Puxa, os extremos do domínio é só para limitar uma função e ponto não tem como esses extremos serem extremos locais. Então para mim, o gabarito só pode estar errado. Na verdade então só tem x=2 e x=-2 como extremos locais, assim como absolutos, pois justamente o domínio varia de
até
num intervalo fechado.
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Victor Mello
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Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
Taxa de variação
Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
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