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Integral - Áreas

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Mensagempor Danilo » Sex Nov 15, 2013 19:03

Encontrar a área da região delimitada pelas curvas dadas.

São elas: x=y²-2, y =1, x={e}^{y}, y =-1.

Eu geralmente consigo calcular, mas neste caso o fato de x estar em função de y, y estar em função de x e de ter 4 gráficos confunde e MUITO a minha cabeça. Eu preciso muito entender isso... Grato!
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Re: Integral - Áreas

Mensagempor LuizAquino » Qua Nov 20, 2013 08:40

Danilo escreveu:Encontrar a área da região delimitada pelas curvas dadas.

São elas: x=y²-2, y =1, x={e}^{y}, y =-1.

Eu geralmente consigo calcular, mas neste caso o fato de x estar em função de y, y estar em função de x e de ter 4 gráficos confunde e MUITO a minha cabeça. Eu preciso muito entender isso... Grato!


Não tem mistério. Se você sabe fazer quando temos y = f(x), então é só usar as mesmas ideias para fazer x = f(y).

Vamos começar com a curva:

x = y^2 - 2

Por um momento, imagine que a curva fosse na verdade o contrário:

y = x^2 - 2

O que essa curva representa? Ora, provavelmente você já percebeu que é uma parábola! As características básicas dessa parábola estão abaixo.

(1) Ela corta o eixo x nos pontos:
\left(-\sqrt{2};\,0\right)\textrm{ e } \left(\sqrt{2};\,0\right)

(2) Ela corta o eixo y no ponto:
(0; -2)

Agora vamos voltar a curva original. O que ela representa? Ora, uma parábola também! Só que dessa vez suas caraterísticas básicas são as seguintes.

(1) Ela corta o eixo x no ponto:
(-2; 0)

(2) Ela corta o eixo y nos pontos:
\left(0;\,-\sqrt{2}\right)\textrm{ e } \left(0;\,\sqrt{2}\right)

Vamos agora comparar os gráficos dessas curvas.

figura1.png
figura1.png (12.06 KiB) Exibido 2865 vezes


Continuando a resolução do exercício, vamos analisar a curva
x = e^y

Novamente, por um momento, imagine que a curva fosse:
y = e^x

O que ela representa? Você já deve saber que ela representa o gráfico de uma função exponencial. Suas características básicas estão abaixo.

(1) Ela não corta o eixo x (mas fica cada vez mais próximo dele).
(2) Ela corta o eixo y no ponto (0; 1).

Voltando para a curva original, você deve concluir que suas características básicas serão as seguintes.

(1) Ela corta o eixo x no ponto (1; 0).
(2) Ela não corta o eixo y (mas fica cada vez mais próximo dele).

Vamos agora comparar os gráficos dessas curvas.

figura2.png
figura2.png (5.05 KiB) Exibido 2865 vezes


Falta agora analisar as curvas y = 1 e y = -1. No primeiro caso, temos uma curva formada por todos os pontos do plano que possuem a mesma coordenada y (sendo específico, igual a 1). O que ela representa? Ora, uma reta paralela ao eixo x e cortando o eixo y em (0, 1). Usando uma análise semelhante, você deve concluir que no segundo caso temos uma reta paralela ao eixo x e cortando o eixo y em (0, -1). Vejamos os gráficos dessas curvas.

figura3.png
figura3.png (1.7 KiB) Exibido 2865 vezes


Agora que já conhecemos os gráficos das curvas dadas no exercício, vamos representá-los juntos (e destacar a região delimitada por eles).

figura4.png
figura4.png (7.55 KiB) Exibido 2865 vezes


Enxergando x como função de y, note que a região delimitada terá área dada por:

A = \left|\int_{-1}^{1} y^2 - 2 \,dy\right| + \int_{-1}^{1} e^y \,dy

Agora basta resolver as integrais para concluir o exercício. Continue a partir daí.
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Re: Integral - Áreas

Mensagempor Man Utd » Qui Nov 21, 2013 17:20

se preferir por integral dupla ,fica:

\int_{-1}^{1} \int_{y^2-2}^{e^{y}} 1 dxdy


Pelo gráfico.notamos que e^{y} tem o maior valor da função em x do que a função y^2-2,então o limite de integração superior é e^{y} e o limite inferior é y^2-2 , e os limites de y serão -1 e 1 , conforme o gráfico.
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.