[Esboço gráfico] Ajuda na construção de alguns esboços

[LeonardoIB]

Olá, preciso de ajuda fara fazer os esboços dos gráficosde algumas funções, o enunciado do problema é o seguinte: "Diga o intervalo onde as func~oes abaixo s~ao crescentes, decrescentes, ponto de maximos e mnimos, onde possuem CVC , CVB (concavidade voltada para cima ou para baixo), ponto de inflexão, assintotas horizontais e verticais e com as informacões obtidas, faça um esboçco do gráfico de f. As funções são as seguintes:

y= e^(-1/x)

y= e^(-1/x²)

y= e^(-x²)
-----------------------------------
y= e^(-1/x) - Consegui fazer os limites tendendo à infinito positivo e negativo e os limites laterais tendendo à zero para descobrir assíntotas. Há uma assíntota horizontal em y=1 e uma vertical em x=0 (Quando x tende à zero pela direita, y tende à zero, e quando x tende à zero pela esquerda, y tende ao infinito).

Após isso fiz a derivada primeira, para tentar encontrar pontos críticos, mas cheguei ao resultado: f'(x)= (e^(-1/x))*(1/x²). Após isso tentei igualar 1/x² à zero, mas não consegui resolver, de modo que presumi que não há pontos críticos.

Depois fiz a derivada segunda para encontrar possíveis pontos de inflexão, cheguei ao resultado: f''(x)= (e^(-1/x) * (1/x²) * (1/x²))+((e^(-1/x) * (-x²/x^4). Simplificando, encontrei: f''(x)= (e^(-1/x) * (1/x^4))+ (e^(-1/x) * (-x²)).

De modo que para essa expressão ter como resultado: zero, a única possibilidade seria se (1/x^4))+ (-x²)= 0, certo (afinal de contas o 'e' sempre terá valor positivo)?

Enfim, meu maior problema está em resolver essas igualdades para encontrar os pontos críticos e de inflexão. Eu havia feito um esboço prévio do gráfico me baseando apenas nos limites (e ficou praticamente igual), mas vou ter de refazer por isso, uma das poucas informações que eu sei que deveria ter a mais no meu esboço anterior é um ponto de inflexão em x=1/2 se me lembro bem.

As outras funções são bem semelhantes à essa, então creio que depois de analizar a técnica para encontrar os pontos necessários nessa, eu consigo fazer o mesmo nas outras sem ajuda. Grato desde já.