Integração por partes

por **Victor Mello** » Sáb Nov 09, 2013 17:39

Alguém poderia me ajudar a resolver esta integral aqui: $\int{e}^{2x}cos3xdx$ Eu fiz por método de integração por partes, chamei cos3x de "u" e ${e}^{2x}$ de "dv". Na hora de aplicar a fórmula, o resultado não deu uma integral conhecida. Fiz duas vezes seguidas e ainda não cai um integral conhecida. Bom, espero que tenham me ajudado. =D

Obrigado.

por **e8group** » Sáb Nov 09, 2013 18:49

Sim é por partes mesmo ,deve aplicar este método duas vezes .

Tome $I := \int exp(2x)cos(3x) dx$ . Por integração por partes ,temos

$I = uv - \int u'v dx (1.1)$ .Se considerarmos u = exp(2x) , v'= cos(3x)

,segue

e

$\therefore \int u' v dx = \int (\frac{2}{3}) uv dx = \frac{2}{3} \int u v dx (1.2)$ .

Agora tome v = p'

para usarmos integração por partes em (1.2) ,

$\int u p'dx = up - \int u' p dx (1.3)$ . Notando que

$p = \int v dx = \int sin(3x)/3 dx = -cos(3x)/9 = -v'/9$ e como já vimos acima u' = 2u

,reescrevemos (1.3) como

$up + \frac{2}{9} \left( \int uv' dx \right)$ . Só que a expressão entre () é exatamente

.

Se não errei contas é isto .Agora tente concluir .

por **Victor Mello** » Sáb Nov 09, 2013 19:48

Uma dúvida: por que a integral de cos(3x) é sen(3x)/3 e não sen(3x)? Eu vi no formulário que a integral de um cosseno é um seno, estranho...

por **e8group** » Sáb Nov 09, 2013 22:25

Victor Mello escreveu:Uma dúvida: por que a integral de cos(3x) é sen(3x)/3 e não sen(3x)? Eu vi no formulário que a integral de um cosseno é um seno, estranho...

Por que derivando sin(3x)/3

chega-se em cos(3x)

. Observe que pela regra da cadeia

$[sin(3x)]' = sin'(3x) \cdot (3x)' = cos(3x) \cdot 3$ .

por **Victor Mello** » Dom Nov 10, 2013 14:28

Ahhh tá, pode crer. Nem tinha percebido que era uma função composta, por isso que não dava certo a integração. Agora fez todo sentido. Obrigado! =D

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