[Integral]

por **dehcalegari** » Seg Out 21, 2013 21:42

Boa noite... Fiz uma prova hoje, e uma questão, caiu numa integral para determinar uma certa população.

a integral se nao me engano ficou assim

$\int_{}^{}\frac{(P + S) dP}{{P}^{2}(-0,9)-900P}$

Como proceder?

por **e8group** » Ter Out 22, 2013 19:23

Faça uma analogia do integrando da integral da qual você postou com a seguinte integral da função racional : $q(x) = \frac{ax+b}{cx^2 +e x} (*)$ , onde a,b,c,e

são constantes não nulas . Buscaremos então uma primitiva de [tex ]q (x) [/tex] ,como o grau do polinômio do numerador é estritamente menor que o do denominador e cx^2 +xb = x(cx+e)

, então por decomposição em frações parciais , existem constantes A ,B

p/ o qual a igualdade

$\frac{1}{x(cx+e)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{cx+e}$ é verdadeira , que por sua vez , implica

A(cx+e) + Bx = 1

. Substituindo-se x = 0

e

nesta última igualdade , obtemos :

A = 1/e

e

.

Assim ,

$\frac{1}{x(cx+e)} =\frac{1}{ex} + \frac{-c}{e(cx+e)} = \frac{1}{e} \left(\frac{1}{x} + \frac{-c}{cx+e}\right)$ .

Logo ,

$q(x) = \frac{ax+b}{cx^2 +e x} = (ax+b)\left(\frac{1}{cx^2 +e x}\right) = \frac{1}{e} \left(\frac{ax+b}{x} -c \frac{ax+b}{cx+e}\right)$ , ou ainda ,

$q(x) = \frac{1}{e} \left(a +\frac{b}{x} -a \frac{cx}{cx+e} - b \frac{c}{cx+e}\right)$ .Comparando esta última expressão com a primeira (*)

, perceba como é fácil encontrar agora uma primitiva de

que a princípio não era .

Basta então integrar e tomar a = 1 , b = S , c = - 0,9 , e = 900

e trocar a variável

por

.

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