CÁLCULO 2 - INTEGRAL

por **renan_cpime14** » Dom Set 29, 2013 10:34

Bom dia, no problema 1 do Exercício 7.7 do GUIDORIZZI - CALC 2 ( 5ªEd , p.143) temos que calcular o comprimento da curva dada:
na letra c temos que:

$\gamma\left( t\right)= (cos t,sen t, {e}^{-t}) , t \in[0,\pi]$

desenvolvi e travei nessa integral abaixo:

$\int_{0}^{\pi}\sqrt[]{{e}^{-2t}+1}dt$

gostaria que alguém me ajudasse a resolver.

1) tenho que transformar em uma substituição trigonométrica, portanto ${e}^{-2t}$ substituirei por ${tg ^{2}\left(u \right) }$ , logo, teremos $\sqrt[]{{tg^{2} \left(u \right)}+ 1}$ que resultará em $sec \left(u \right)$

Para isso $t= ln (arctg \left(u \right))$ e $dt= \frac{1}{arctg \left(u \right)}. \frac{1}{1+{u}^{2}}.du$

Os limites serão ${t}_{1}=0$ será $ln\left(arctg\left(u \right) \right)=0$ que será ${u}_{1}=\frac{\pi}{4}$ e ${t}_{2}=\pi$ será $ln\left(arctg\left(u \right) \right)={\pi}$ , logo ${u}_{2}=arctg \left({e}^{\pi} \right)$

Gostaria de saber se há algum passo errado e como faço pra achar essa integral: $\int_{\frac{\pi}{4}}^{arctg \left({e}^{\pi} \right)} sec(u).\frac{1}{arctg \left(u \right)}. \frac{1}{1+{u}^{2}}.du$

por **young_jedi** » Dom Set 29, 2013 14:04

a maneira que eu visualizei foi esta

$\int\sqrt{e^{-2t}+1}dt$

$=\int\frac{(e^{-2t}+1)}{e^{-2t}}\frac{e^{-2t}}{\sqrt{e^{-2t}+1}}dt$

$\sqrt{e^{-2t}+1}=u$

$\frac{-e^{-2t}}{\sqrt{e^{-2t}+t}}dt=du$

$e^{-2t}+1=u^2$

$e^{-2t}=u^2-1$

$\int-\frac{u^2}{u^2-1}du$

$-\int\frac{u^2}{u^2-1}du$

$-\int\frac{u^2}{(u+1)(u-1)du}$

$-\frac{1}{2}\int\frac{u}{u+1}+\frac{u}{u-1}du}$

$-\frac{1}{2}\int\frac{u+1-1}{u+1}+\frac{u-1+1}{u-1}du}$

$-\frac{1}{2}\int 1-\frac{1}{u+1}+1+\frac{1}{u-1}du}$

$-\frac{1}{2}\int 2-\frac{1}{u+1}+\frac{1}{u-1}du}$

$-\frac{1}{2}\left(2u-\ln{(u+1)}+\ln{(u-1)}\right)$

$-\frac{1}{2}\left(2\sqrt{e^{-2t}+1}-\ln{(\sqrt{e^{-2t}+1}+1)}+\ln{(\sqrt{e^{-2t}+1}-1)}\right)\Big|_{0}^{\pi}$

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