Equações Diferenciais

por **FernandaOliveira** » Dom Ago 25, 2013 20:52

Questão 3: Considere um circuito elétrico modelado pela equação diferencial R dQ/dt + 1Q/C = E(t)
que contem um capacitor com capacitância de C Farads (F); um resistor
com uma resistência de R ohms ( $\Omega$ ); com carga Q medida em coulombs; voltagem E(t)
medida em volts e o tempo t medido em segundos.
Supondo que , R=2 $\Omega$ , C=0,01 F, Q(0)=0 e E(t)=10sen (60t), calcule a carga e a corrente i
no instante t. (observação a corrente i é dada por i = dQ/dt ).

Me ajudem por favor é urgente preciso enviar a prova até dia 27/08 terça feira.

por **young_jedi** » Seg Ago 26, 2013 16:22

a equação é

$R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=10.sen(60.t)$

$\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{RC}=\frac{10}{R}.sen(60.t)$

resolvendo pelo método do fator integrante temos

$\int \frac{1}{RC}dt=\frac{t}{RC}$

o fator integrante vai ser

$e^{\frac{t}{RC}}$

a equação diferencial fica

$Q.e^{\frac{t}{RC}}=\int e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{R}sen(60t)dt$

fazendo

$u=e^{\frac{t}{RC}}$

$du=\frac{1}{RC}.e^{\frac{t}{RC}}.dt$

$dv=\frac{10}{R}.sen(60t)dt$

$v=\int \frac{10}{R}.sen(60t)dt$

$v= -\frac{10}{60.R}.cos(60t)$

$\int e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{R}sen(60t)dt=e^{\frac{t}{RC}}.\left(-\frac{10}{60.R}.cos(60t)\right)-\int -\frac{10}{60.R}.cos(60t).\frac{1}{RC}.e^{\frac{t}{RC}}.dt$

$\int e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{R}sen(60t)dt=-e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{60.R}.cos(60t)+\int\frac{10}{60.R}.cos(60t).\frac{1}{RC}.e^{\frac{t}{RC}}.dt$

fazendo por partes novamente

$u=e^{\frac{t}{RC}}$

$du=\frac{1}{RC}.e^{\frac{t}{RC}}.dt$

$dv=\frac{10}{60.C.R^2}.cos(60t)dt$

$v=\int \frac{10}{60.C.R^2}.cos(60t)dt$

$v= \frac{10}{60^2.C.R^2}.sen(60t)$

$\int e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{R}sen(60t)dt=-e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{60.R}.cos(60t)+e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{60^2.C.R^2}.sen(60t)$ $-\int\frac{10}{60^2.C.R^2}.sen(60t)\frac{1}{RC}.e^{\frac{t}{RC}}.dt$

$\left(1+\frac{1}{R^2.C^2.60^2}\right)\int e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{R}sen(60t)dt=-e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{60.R}.cos(60t)+e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{60^2.C.R^2}.sen(60t)$

$\int e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{R}sen(60t)dt=\left(\frac{(RC.60)^2}{1+(RC.60)^2}\right)\left(-e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{60.R}.cos(60t)+e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{60^2.C.R^2}.sen(60t)\right)+C$

$Q.e^{\frac{t}{RC}}=\left(\frac{(RC.60)^2}{1+(RC.60)^2}\right)\left(-e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{60.R}.cos(60t)+e^{\frac{t}{RC}}.\frac{10}{60^2.C.R^2}.sen(60t)\right)+C$

$Q=\left(\frac{(RC.60)^2}{1+(RC.60)^2}\right)\left(-\frac{10}{60.R}.cos(60t)+\frac{10}{60^2.C.R^2}.sen(60t)\right)+C.e^{-\frac{t}{RC}}$

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