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Convexidade

Convexidade

Mensagempor temujin » Dom Jul 21, 2013 21:48

Boa noite, galera.

Preciso de uma ajuda:

Mostre que a função f(x,y)=x^2-2xy+y^2 é estritamente convexa.

Eu tentei pela matriz hessiana:

H_f= \begin{pmatrix}
2 & -2 \\ 
-2 & 2 \\ 
\end{pmatrix}

Mas ela é semidefinida positiva, então não posso dizer que é estritamente convexa...Alguma idéia??
temujin
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Re: Convexidade

Mensagempor MateusL » Seg Jul 22, 2013 00:29

Cara, eu realmente não domino essa parte, mas pesquisando aqui vi que esta função realmente não é estritamente convexa, mas apenas convexa.

É só ver que podemos reescrever a função como f(x,y)=(x-y)^2.

Então, a função só irá variar se variarmos o valor de x-y, mas é possível variar o valor de x+y sem variar x-y.

Desculpe minha falta de termos melhores, mas realmente não domino esta parte, então minha explicação não está, vamos dizer assim, muito formal. :-D

Abraço!
MateusL
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Re: Convexidade

Mensagempor Russman » Seg Jul 22, 2013 00:40

O determinante da matriz hessiana é nulo. Você leu o que significa isso ?
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Re: Convexidade

Mensagempor temujin » Seg Jul 22, 2013 02:27

MateusL,

Essa é a mesma conclusão que eu havia chegado. Tô achando que é por aí mesmo.


Russman,

Pelo livro que eu estou usando (Simon&Blume, Matemática p/Economistas), se o determinante é nulo, mas o traço é positivo, a forma quadrática é não negativa (semidefinida positiva), portanto convexa (mas não estritamente). Não seria isto???
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Re: Convexidade

Mensagempor temujin » Seg Set 02, 2013 19:47

Acho que eu cheguei numa solução, mas não tenho muita certeza. Vou colar a imagem aqui, pq sem o Latex tá complicado.

Imagem

Será que tá certo??

*-)
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.