• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

CALCULO

CALCULO

Mensagempor Victor Gabriel » Qua Jul 17, 2013 12:17

Pessoal tem como alguém mim ajudar com esta questão.

Questão: Encontre a maior e a menor distância de um ponto situado sobre a elipse \frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1 à reta x+y-4=0
Victor Gabriel
Usuário Dedicado
Usuário Dedicado
 
Mensagens: 48
Registrado em: Dom Abr 14, 2013 20:29
Formação Escolar: ENSINO MÉDIO
Área/Curso: estudante
Andamento: cursando

Re: CALCULO

Mensagempor Russman » Qua Jul 17, 2013 19:27

A grandeza de interesse a ser minimizada ou maximizada é a distância entre as curvas. Assim, o primeiro passo é determiná-la em função dos parâmetros das mesmas.

A distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por

d = \sqrt{\left (x_2 - x_1  \right )^2 + \left ( y_2 - y_1 \right )^2} .

Como um dos pontos deve pertencer a elipse e o outro a reta, então podemos relacionar as coordenadas, escolhendo, por exemplo, o subíndice 1 para a reta e 2 para a elipse, da seguinte forma

\left\{\begin{matrix}
x_2+y_2-4=0 \\ 
\frac{x^2_2}{4} + y_2^2 = 1
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
y_1 = 4- x_1 \\ 
y_2 = \sqrt{1 - \left ( \frac{x_2^2}{4} \right )}
\end{matrix}\right.

de modo que

d = \sqrt{\left (x_2 - x_1  \right )^2 + \left (  \sqrt{1 - \left ( \frac{x_2^2}{4} \right )} - 4+ x_1 \right )^2}

Agora não sei se o ponto sobre a elipse é um qualquer, um específico(não parece ser pelo enunciado) ou se é o par de pontos que minimizam ou maximizam a função distância não localmente mas globalmente. Se sim, então temos uma função de duas variáveis e as respectivas derivadas parciais de cada variável serão nulas nos pontos de máximo e mínimo.

Uma outra alternativa seria considerar que a distância entre as curvas deveria ser uma reta PERPENDICULAR a reta dada. Isto simplificaria bastante as coisas. Veja que, nesse caso, a distância entre um ponto (x,y) qualquer pertencente a elipse e a reta de equação ax+by+c=0 é dada por

d= \frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\left | ax+by+c \right |

e dada reta, então

d= \frac{1}{\sqrt{2}}\left | x+y-4 \right | .

Como o ponto deve pertencer a elipse, temos a relação y = \sqrt{1 - \left ( \frac{x^2}{4} \right )} e, portanto,

d= \frac{1}{\sqrt{2}}\left | x+ \sqrt{1 - \left ( \frac{x^2}{4} \right )}-4 \right |.

Agora temos a distância entre as curvas em função da coordenada x que, como varia de -2 a 2 e ,nesse intervalo, o valor que está dentro do módulo é negativo podemos nos livrar dele colocando um sinal menos na frente da função.

d(x)= -\frac{1}{\sqrt{2}} \left (x+ \sqrt{1 - \left ( \frac{x^2}{4} \right )}-4  \right )

ou

d(x)= -\frac{1}{\sqrt{2}} \left (x+ \frac{1}{2}\sqrt{4 -x^2}-4  \right ).

Agora para extremá-la temos de calcular qual valor de x que zera a derivada primeira.
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 3 visitantes

 



Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: