[Limites]Preciso de ajuda para calcular alguns limites

por **Pessoa Estranha** » Ter Jul 16, 2013 17:15

Boa Tarde. Gostaria que alguém me ajudasse a resolver dois limites, tais que tentei solucionar várias vezes, mas não consegui. Aqui vão os limites:

lim (2^x - 3^x), quando x-> $\infty$

lim ((1 - 2^x)/(1 - 3^x)), quando x-> $\infty$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Como tentei resolver:

lim (2^x - 3^x), quando x-> $\infty$ = lim (2^x), quando x-> $\infty$ , - lim (3^x), quando x-> $\infty$ = $\infty$ - $\infty$
(Mas este resultado é uma indeterminação. Tentei também de outras maneiras, mas todas sempre chegavam numa indeterminação).

lim ((1 - 2^x)/(1 - 3^x)), quando x-> $\infty$ = lim (1 - 2^x),quando x-> $\infty$ / lim (1 - 3^x), quando x-> $\infty$
(indeterminação).

por **Russman** » Ter Jul 16, 2013 18:02

No primeiro caso, note que $3^{x}$ se aproxima de infinito mais rapidamente que $2^{x}$ , pois 2<3

. Assim, o primeiro limite vai para $-\infty$ .

No segundo caso, o denominador fica sempre ''mais negativo'' que o numerador. Consequentemente, o denominador fica sempre , em módulo, maior que o numerado. Assim, esse limite tende a zero.

por **LuizAquino** » Qua Jul 17, 2013 09:12

Pessoa Estranha escreveu:Boa Tarde. Gostaria que alguém me ajudasse a resolver dois limites, tais que tentei solucionar várias vezes, mas não consegui. Aqui vão os limites:

lim (2^x - 3^x), quando x-> $\infty$

lim ((1 - 2^x)/(1 - 3^x)), quando x-> $\infty$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Como tentei resolver:

lim (2^x - 3^x), quando x-> $\infty$ = lim (2^x), quando x-> $\infty$ , - lim (3^x), quando x-> $\infty$ = $\infty$ - $\infty$
(Mas este resultado é uma indeterminação. Tentei também de outras maneiras, mas todas sempre chegavam numa indeterminação).

lim ((1 - 2^x)/(1 - 3^x)), quando x-> $\infty$ = lim (1 - 2^x),quando x-> $\infty$ / lim (1 - 3^x), quando x-> $\infty$
(indeterminação).

Russman escreveu:No primeiro caso, note que $3^{x}$ se aproxima de infinito mais rapidamente que $2^{x}$ , pois . Assim, o primeiro limite vai para $-\infty$ .

No segundo caso, o denominador fica sempre ''mais negativo'' que o numerador. Consequentemente, o denominador fica sempre , em módulo, maior que o numerado. Assim, esse limite tende a zero.

Eu vou apresentar uma outra maneira de resolver. Desta vez uma maneira algébrica.

Como você mesmo já notou, o primeiro limite é uma indeterminação do tipo $\infty - \infty$ . A estratégia é tentar reescrevê-lo de tal modo que não haja mais indeterminação. Para isso, note que colocando 3^x

em evidência obtemos:

$\lim_{x\to +\infty} 3^x\left[\left(\frac{2}{3}\right)^x - 1\right] = (+\infty)\cdot (0 - 1) = -\infty$

Já no segundo limite, temos uma indeterminação do tipo $\infty / \infty$ . Para remover esta indeterminação, note que dividindo o numerador e o denominador por 3^x

obtemos:

$\lim_{x\to +\infty} \frac{(1 - 2^x):3^x}{(1 - 3^x):3^x} = \lim_{x\to +\infty} \frac{\frac{1}{3^x} - \left(\frac{2}{3}\right)^x}{\frac{1}{3^x} - 1} = \frac{0 - 0}{0 - 1} = 0$

Observação

Eu sugiro que você estude o LaTeX para digitar os textos matemáticos de modo mais adequado. Vide o tópico DICA: Escrevendo Fórmulas com LaTeX via BBCode.

Tenha certeza que o LaTeX será útil para você não só aqui nas mensagens do fórum, mas em toda a sua vida acadêmica e profissional.