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[Derivadas Parciais] Variação da Corrente Elétrica

[Derivadas Parciais] Variação da Corrente Elétrica

Mensagempor jpreis » Seg Jul 15, 2013 23:10

Fala Galera, blz? Peço a gentileza de me ajudar no seguinte problema:

"Num determinado circuito elétrico, a corrente 'I' é dada, em função da voltagem 'V', da resistência 'R' e da indutância 'L' por I = \frac{V}{\sqrt[2]{{R}^{2}+10.{L}^{2}}}. No instante em que 'V' é 210 volts, R é igual a 3 ohms e está decaindo a uma taxa de 0,1 ohms por segundo, enquanto que 'L' é igual a 2 henrys e está crescendo a uma razão de 0,05 henrys por segundo. Qual deve ser a variação de 'V', neste instante, para que a corrente permaneça constante?". Resposta = 3 volts por segundo.


COMO TENTEI RESOLVER: primeiro achei o valor de I através da substituição dos valores fornecidos pelo enunciado na equação I = \frac{V}{\sqrt[2]{{R}^{2}+10.{L}^{2}}}, ficando desta forma: I = \frac{210}{\sqrt[2]{49}} = 30. Após encontrar o valor de I, este foi igualado às derivadas de I em função das variáveis \frac{\partial I}{\partial V}, \frac{\partial I}{\partial R}  e  \frac{\partial I}{\partial L} e multipliquei cada derivada parcial por sua respectiva taxa de variação \frac{dV}{dt}, \frac{dR}{dt} e \frac{dL}{dt}; lembrando que o valor que quero encontrar é \frac{dV}{dt}; assim ficou: 30 = \frac{\partial I}{\partial V}.\frac{dV}{dt} + \frac{\partial I}{\partial R}.\frac{dR}{dt} + \frac{\partial I}{\partial L}.\frac{dL}{dt}.
Resolvendo as derivadas, encontrei: \frac{\partial I}{\partial V} = \frac{1}{\sqrt[2]{{R}^{2}+10.{L}^{2}}}; \frac{\partial I}{\partial R} = \frac{V}{L.\sqrt[2]{10}}.-\frac{1}{{R}^{2}}; e \frac{\partial I}{\partial L} = \frac{V}{R.\sqrt[2]{10}}.-\frac{1}{{L}^{2}}.

Fazendo desta forma encontrei um valor na ordem de 200, ou seja, muito distante da resposta correta (3 volts/s). Refiz diversas vezes e não saiu deste resultado.

Desde já agradeço a ajuda. Forte abraço!

jpreis
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Re: [Derivadas Parciais] Variação da Corrente Elétrica

Mensagempor Russman » Ter Jul 16, 2013 00:36

O seu problema é inteiramente de Cálculo Diferencial. Voce tem uma função I que depende de 3 variáveis V, R e L as quais dependem do tempo t. Assim, a derivada total de I será

I = I\left ( V\left ( t \right ),R\left ( t \right ),L\left ( t \right ) \right )
\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}I = \frac{\partial I}{\partial V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}+ \frac{\partial I}{\partial V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}+\frac{\partial I}{\partial V}\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} T}+\frac{\partial I}{\partial t}.

Dada a função, temos que

\left\{\begin{matrix}
\frac{\partial I}{\partial V} = \frac{1}{\left ( R^{2} + 10L^{2}\right )^{\frac{1}{2}}}\\ 
\frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{RV}{\left ( R^{2} + 10L^{2}\right )^{\frac{3}{2}}}
\\ 
\frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{10VL}{\left ( R^{2} + 10L^{2}\right )^{\frac{3}{2}}}
\end{matrix}\right.

Se queremos calcular a variação de V, isto é, \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} no instante indicado, para que a corrente se mantenha constante, isto é, \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t}=0 , então basta substituir na relação da derivada e teremos um resultado. Veja que no instante indicado temos

\left\{\begin{matrix}
V=210 \\
R=3 \\
L=2\\
\frac{\partial I}{\partial V} = \frac{1}{\left ( 3^{2} + 10.2^{2}\right )^{\frac{1}{2}}}  \\ 
\frac{\partial I}{\partial R} = -\frac{3.210}{\left ( 7\right )^{3}} 
\\ 
\frac{\partial I}{\partial L} = -\frac{10.210.2}{\left ( 7\right )^{3}} \\
\frac{\mathrm{d} R}{\mathrm{d} t}=-0,1 \\
\frac{\mathrm{d} L}{\mathrm{d} T} = 0,05
\end{matrix}\right

Agora substitua os valores, isole a derivada temporal de V e terá a solução.
"Ad astra per aspera."
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.