[limites] exercicio de calculo envolvendo limites

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[limites] exercicio de calculo envolvendo limites

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[limites] exercicio de calculo envolvendo limites

Mensagempor lucasdemirand » Qua Jul 10, 2013 00:45

olá pessoal, segue uma duvida de calculo, envolvendo limites, espero que alguem possa me ajudar ;)
\lim_{h\rightarrow x} \frac{sen(x+h) - sen(x)}{h}

em meu gabarito tenho a resposta cos(x), mas nao consigo resolver esse limite, conto com o apoio de vocês
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Re: [limites] exercicio de calculo envolvendo limites

Mensagempor e8group » Sáb Jul 20, 2013 13:08

Dica :

sin(x+h) = sinxcosh + sinhcosx . e cosh-1 = \frac{(cosh - 1 )(1+cosh)}{1+cosh)} = \frac{-sin^2h}{1+cosh}

Logo ,

\frac{sin(x+h) - sin(x)}{h} = sinx \frac{cosh-1}{h} + cos(x) \frac{sinh}{h} = \\ -sinx\left( \frac{sinh}{h} \right) \left(\frac{sinh}{1+cosh}} \right) + cos(x) \left( \frac{sinh}{h}\right)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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