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Fatoração de raiz cúbica

Fatoração de raiz cúbica

Mensagempor Paula Noia » Sáb Jun 15, 2013 21:22

Olá pessoal,

Tenho a seguinte dúvida: como resolver a fatoração de raiz cúbica do limite abaixo ( sem usar a regra de L'Hopital):

\lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt[2]{x}-1}

Sei que devo fatorar o numerador, só não estou conseguindo resolvê-lo, alguém poderia dar uma ajuda?
Paula Noia
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Re: Fatoração de raiz cúbica

Mensagempor young_jedi » Dom Jun 16, 2013 11:00

multiplicando em cima e em baixo

\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{x}-1}{\sqrt{x}-1}.\frac{x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{2}}+1}

\lim_{x\to1}\frac{(x^{\frac{1}{3}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)}{x-1}

\lim_{x\to1}\frac{(x^{\frac{1}{3}}-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)}{x-1}.\frac{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1}{x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1}}

\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^{\frac{1}{2}}+1)}{(x-1)(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1)}

\lim_{x\to1}\frac{(x^{\frac{1}{2}}+1)}{(x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{1}{3}}+1)}=\frac{2}{3}
young_jedi
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Re: Fatoração de raiz cúbica

Mensagempor Paula Noia » Dom Jun 16, 2013 11:29

Obrigada, Young! :)
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.