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[Limite] Duas variaveis

[Limite] Duas variaveis

Mensagempor fabriel » Sáb Jun 15, 2013 16:48

Oi pessoal estou na duvida em um exercício aqui.
Não estou conseguindo fazer uma manipulação.
Preciso calcular esse limite:
\lim_{(x,y)->(0,0)} \frac{{3x}^{3}-{2x}^{2}y +3{y}^{2}x-2{y}^{3}}{{x}^{2}+{y}^{2}}

Eu tentei simplificar em produtos notáveis mais não deu, tipo na forma (a-b)³.
Que tipo de manipulação devo usar?
Matemática, de modo algum, são fórmulas, assim como a música não são notas. (Y Jurquim)
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Re: [Limite] Duas variaveis

Mensagempor e8group » Sáb Jun 15, 2013 18:51

Suponha que exista a,b,r reais satisfazendo a igualdade 3x^3 -2x^2y + 3y^2x - 2y^3 =  (x^2+y^2)(ax+by) + r , \forall  (x,y) \in \mathbb{R} ^2 .Por distributividade,(x^2+y^2)(ax+by) + r = ax^3 +bx^2y + ay^2x +by^3 +r . Logo , a = 3 , b = -2 ,r = 0 .Assim , 3x^3 -2x^2y + 3y^2x - 2y^3 =(x^2+y^2)(3x-2y) .
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Re: [Limite] Duas variaveis

Mensagempor temujin » Sáb Jun 15, 2013 19:10

Acho que tb dá pra fazer por coordenadas polares. Sejam:

x=\rho.cos\theta , y=\rho.sen\theta

(x,y)=(0,0) \Leftrightarrow \rho=0

Substituindo no limite:

\lim_{\rho \to 0} \frac{3 \rho^3.cos^3 \theta - 2\rho^2.cos^2 \theta.\rho.sen^2 \theta+3\rho^2.sen\theta.\rho.cos \theta-2\rho^3.sen^3 \theta}{\rho^2.cos^2 \theta+\rho^2.sen^2 \theta} =

\lim_{\rho \to 0} \frac{\rho^3}{\rho^2} . \frac{cos^3 \theta - 2cos^2 \theta . sen \theta + 3 sen \theta . cos \theta - 2 sen^3 \theta}{1}=0
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}