Dúvida (derivada e função modular)

por **Man Utd** » Sáb Jun 15, 2013 11:03

é certo afirmar que as raízes de uma função modular se tornam bicos(pontos que não tem derivada),já que o gráfico é rebatido para cima?
nesta função |x^{3}-x| (vide o gráfico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ab ... 83%29-x%29 todas as raízes encontram-se bicos).
mais nesta outra função |x^{3}-x^{2}-2x|(gráfico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ab ... 2%29-2x%29 )não acontecem com todas as raízes e somente uma.
Dúvida:eu tenho que fazer o gráfico para descobrir os possíveis bicos?ou existe um jeito mais eficaz?

por **e8group** » Sáb Jun 15, 2013 13:24

Man Utd escreveu:é certo afirmar que as raízes de uma função modular se tornam bicos(pontos que não tem derivada),já que o gráfico é rebatido para cima?
nesta função |x^{3}-x| (vide o gráfico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ab ... 83%29-x%29 todas as raízes encontram-se bicos).

A função não é diferenciável nestes pontos ,segue de imediato da definição ,pois as derivadas laterias diferem .

Man Utd escreveu:mais nesta outra função |x^{3}-x^{2}-2x|(gráfico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ab ... 2%29-2x%29 )não acontecem com todas as raízes e somente uma.

SIm , em uma destas raízes ,as derivadas laterias são iguais o que implica a função diferenciável neste ponto .

Man Utd escreveu:Dúvida:eu tenho que fazer o gráfico para descobrir os possíveis bicos?ou existe um jeito mais eficaz?

Tome cuidado ,esta analise leva você dizer que as funções cujo gráfico não apresenta "bicos " é diferenciável ,isto não é verdade , por exemplo , $f(x) = \sqrt[3]{x}$ não é derivável em x= 0 , o limite das retas tangente a função neste ponto é o próprio O_y

, o coeficiente angular desta reta vai $+ \infty$ quado $x \to 0$ .

por **Man Utd** » Sáb Jun 15, 2013 20:10

eu tenho um exercicio assim:

Construa uma função f: R-R que seja contínua em R e derivavél em todos os pontos exceto em -1,0 e 1.

a resolução apresentada a mim foi:
(x+1).x.(x-1)----decomposição de polinomios.
x^{3}-x, então foi colocado em módulo------|x^{3}-x|,com isso as raízes apresentaram bicos na função(conforme wolfram na 1° postagem).
dúvida:Isso sempre é válido?digo uma função em módulo não vai ter derivada nos pontos que são as raízes?
att,
obrigado pela atenção.

por **e8group** » Sáb Jun 15, 2013 21:26

Você também pode pensar em 3 funções contínuas em toda a reta satisfazendo a (*) diferenciabilidade em todos os pontos exceto -1,0,1 . Logo , a soma destas funções contínuas fornecerá uma função contínua satisfazendo (*) .

por **Man Utd** » Dom Jun 16, 2013 10:25

vlw santhiago.

por **LuizAquino** » Dom Jun 16, 2013 11:24

Man Utd escreveu:é certo afirmar que as raízes de uma função modular se tornam bicos(pontos que não tem derivada),já que o gráfico é rebatido para cima?

Nem sempre é correto afirmar isso.

Por exemplo, x = 0 é uma raiz da função definida por $f(x) = \left|x^3 - x^2\right|$ , entretanto a função não tem bico em x = 0. Analise o gráfico desta função representado abaixo.

: figura1.png (8.93 KiB) Exibido 6864 vezes

Man Utd escreveu:nesta função |x^{3}-x| (vide o gráfico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ab ... 83%29-x%29 todas as raízes encontram-se bicos).
mais nesta outra função |x^{3}-x^{2}-2x|(gráfico: http://www.wolframalpha.com/input/?i=ab ... 2%29-2x%29 )não acontecem com todas as raízes e somente uma.

Errado. Na função definida por $f(x) = \left|x^{3}-x^{2}-2x\right|$ temos bicos em todas as raízes. Para verificar isso, confira os limites abaixo (o cálculo deles fica como exercício para você):

$\lim_{x\to -1^-}\dfrac{f(x) - f(-1)}{x-(-1)} = -3$

$\lim_{x\to -1^+}\dfrac{f(x) - f(-1)}{x-(-1)} = 3$

$\lim_{x\to 0^-}\dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} = -2$

$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} = 2$

$\lim_{x\to 2^-}\dfrac{f(x) - f(2)}{x-2} = -6$

$\lim_{x\to 2^+}\dfrac{f(x) - f(2)}{x-2} = 6$

Veja também o gráfico desta função representado abaixo.

: figura2.png (11.88 KiB) Exibido 6864 vezes

Man Utd escreveu:Dúvida:eu tenho que fazer o gráfico para descobrir os possíveis bicos? ou existe um jeito mais eficaz?

Você pode calcular a derivada da função e analisar onde ela é descontínua. Entretanto, dependendo do caso é mais simples construir logo o gráfico.

Man Utd escreveu:eu tenho um exercicio assim:

Construa uma função f: R-R que seja contínua em R e derivavél em todos os pontos exceto em -1,0 e 1.

a resolução apresentada a mim foi:
(x+1).x.(x-1)----decomposição de polinomios.
x^{3}-x, então foi colocado em módulo------|x^{3}-x|,com isso as raízes apresentaram bicos na função(conforme wolfram na 1° postagem).
dúvida:Isso sempre é válido?digo uma função em módulo não vai ter derivada nos pontos que são as raízes?
att,

Nem sempre isso é válido, como ilustra o exemplo exibido no início deste texto.