Questão envolvendo Derivadas e área! Prova no sábado!!

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Questão envolvendo Derivadas e área! Prova no sábado!!

Mensagempor arthurvct » Qui Jun 13, 2013 15:21

Boa tarde/noite/dia galera, por favor me ajudem com essa questão:
Determine a área do triângulo formado pelo eixo-x e pelas retas tangentes ao círculo x^2+y^2=2 nos pontos de interseção do círculo com a parábola de equação y=x^2.
arthurvct
 
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Re: Questão envolvendo Derivadas e área! Prova no sábado!!

Mensagempor e8group » Sex Jun 14, 2013 00:49

Dica : Faça um esboço da circunferência e da parábola.Observe que tais pontos de interseção possui ordenada positiva ,assim a função que vamos derivar é f(x) = \sqrt{2 -x^2} , |x| \leq \sqrt{2} .Podemos derivar implicitamente também x^2 + y^2 = 2 com respeito a x, mas lembre-se que y > 0 .Agora para determinar a interseção , basta substituir y por x^2 na equação da circunferência,com isso você determina tais pontos. Supondo que (a,f(a)) é um dos pontos ,temos que : y - f(a) = f'(a)(x-a) \implies r: y = f'(a) x -af'(a) +f(a) .Observando os dois pontos de interseção diferem apenas pela abscissa ,elas são simétricas.Então ,as duas retas diferem apenas pelo coeficiente angular que são iguais em módulo (Verifique !) . Assim , as áreas dos dois retângulos são iguais , e portanto A = 2 \cdot \frac{d(O,O_x\cap r) \cdot d(O,O_y\cap r) }{2} é a área que estamos procurando .Agora tente concluir
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?

Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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