[dúvida] integral exponencial Ei(z)?

por **Jasbinschek** » Qua Mai 29, 2013 01:17

Então, eu peguei uma integral hoje que eu não consegui resolver, procurei na internet e achei o resultado dela, mas eu gostaria de saber o motivo, como eu chego nela?
o nosso querido Wolfram me disse isso:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... -x%29%29dx

a integral é a seguinte:
$\int\ e^{-x}x^{-1} dx$

alguém pode me explicar como isso funciona?
obrigado.

por **temujin** » Qua Mai 29, 2013 11:04

Acho que dá pra fazer por partes.

Vejamos:

$\\ u= x \rightarrow du=dx \\ v=e^{-x} \rightarrow dv = -e^{-x}dx$

$\int e^{-x}x^{-1}dx = -x.e^{-x} + \int e^{-x}dx = -x.e^{-x} - e^{-x} = -e^{-x}(x+1) + C$

Agora, um detalhe. Essa é uma função gamma, né? Se integrar de 0 a mais infinito ela vai ter essa cara:

$\Gamma(n) = \int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}dx = (n-1)!$

Eu não conheço a demonstração, mas acho que não deve ser difícil de encontrar.

por **Jasbinschek** » Qua Mai 29, 2013 20:11

Eu tentei por partes, mas na parte que fica integral de Vdu é $x^{-2}e^{-x}$ afinal o u tem que ser igual a $x^{-1}$
então cresce infinitamente...
e sim, é uma função gamma