[Dúvida] Regra de L'hôpital

por **Borracha22** » Ter Mai 28, 2013 18:38

Comecei a fazer um exercícios de limite aqui e não consegui fazer quase nenhum. Detalhe, o exercício pedia para que fosse aplicada a Regra de L'hôpital, que eu não sei qual é, então procurei e a coisa mais simples que encontrei foi derivar o numerador e o denominador de cada função até que um limite fosse determinado. Entretanto, mesmo assim, não consegui fazer metade do exercício. Se fosse possível gostaria de ver toda a resolução de cada uma delas ou uma explicação mais precisa e simples do que é a regra de L'hôpital.

$m)\lim_{x\to0^+}x.lnx$

$n)\lim_{x\to\pi/4}(1-tgx)sec(2x))$

$o)\lim_{x\to\0^+}(\frac{1}{x}-\frac{1}{senx})=$

$p)\lim_{x\to\0}(\frac{1}{x^2}-\frac{cos(3x)}{x^2})$

$q)\lim_{x\to0}cscx-\frac{1}{x}$

$r)\lim_{x\to\0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1})$

$t)\lim_{x\to\0^+}(1+x)^\frac{1}{x}$

$u)\lim_{x\to0}(e^x+x)^\frac{1}{x}$

$v)\lim_{x\to1}(2-x)^{tg(\frac{\pi}{2}-x)}$

Respostas: m) 0, n) 1, o) 0, p) 9/2, q) 0, r) 0, t) e, u) 2, v) e²

por **raimundoocjr** » Ter Mai 28, 2013 19:19

Tenta aplicar mais de uma vez a regra.

por **Man Utd** » Ter Mai 28, 2013 23:11

letra u)
$\\\\ \lim_{x\rightarrow 0}(e^{x}+x)^{\frac{1}{x}}=ln(L) \\\\ \lim_{u\rightarrow \infty} ln(e^{\frac{1}{u}}+\frac{1}{u})^{u}=ln(L) \\\\ \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{ln(e^{\frac{1}{u}}+\frac{1}{u})}{(\frac{1}{u})}=ln(L) \\\\ \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{e^{\frac{1}{u}+\frac{1}{u}}}*(e^{\frac{1}{u}+\frac{1}{u}})´}{-\frac{1}{u^{2}}}=ln(L) \\\\$
$\\\\ \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{e^{\frac{1}{u}+\frac{1}{u}}}*(e^{\frac{1}{u}}*-\frac{1}{u}-\frac{1}{u})}{-\frac{1}{u^{2}}}=ln(L) \\\\\\ \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{\frac{-\frac{1}{u^{2}}(e^{\frac{1}{u}}+1)}{e^{\frac{1}{u}}+\frac{1}{u}}}{-\frac{1}{u^{2}}}=ln(l) \\\\\\ \lim_{u\rightarrow \infty}\frac{(e^{\frac{1}{u}}+1)}{e^{\frac{1}{u}}+\frac{1}{u}}=ln(l)\Rightarrow \frac{e^{0}+1}{e^{0}+0}=ln(l)\Rightarrow 2=ln(l)\Leftrightarrow L=e^{2}$

obs:apliquei L'Hospital na terceira linha.dá uma conferida no gabarito por favor. :-D

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