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[Limite]será que existe assintota vertical aqui?

[Limite]será que existe assintota vertical aqui?

Mensagempor marcosmuscul » Ter Mai 21, 2013 12:03

seja {D}_{f(x)} = x \in \Re , x > a

\lim_{x \rightarrow {a}^{+}} f(x) = \infty

existe ou não assintota vertical em x = a?

fiquei na duvida pois no livro da dizendo que pra existir limite infinito, ou seja , assintota vertical, o limite precisa ir ao infinito positivo ou negativo tanto pela direita quanto pela esquerda de a.


outra duvida é:
Em relação a uma função definida para x diferente de a.
se pela esquerda o limite é infinito negativo e pela esquerda é infinito positivo. Posso dizer que existe assíntota vertical?
marcosmuscul
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Re: [Limite]será que existe assintota vertical aqui?

Mensagempor LuizAquino » Dom Mai 26, 2013 02:48

marcosmuscul escreveu:seja {D}_{f(x)} = x \in \Re , x > a

\lim_{x \rightarrow {a}^{+}} f(x) = \infty

existe ou não assintota vertical em x = a?


Sim, existe.

Por definição, dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico da função f se qualquer um dos dois casos abaixo acontecer:

(i) \lim_{x\to a^-} f(x) = \infty

(ii) \lim_{x\to a^+} f(x) = \infty

Em outras palavras, note que x = a será uma assíntota vertical quando qualquer um dos limites laterais for infinito.

Observação: aqui o símbolo \infty pode ser +\infty ou -\infty dependendo do caso.

marcosmuscul escreveu:fiquei na duvida pois no livro da dizendo que pra existir limite infinito, ou seja , assintota vertical, o limite precisa ir ao infinito positivo ou negativo tanto pela direita quanto pela esquerda de a.


Você está confundindo dois conceitos diferentes: existir o limite (e ele ser igual a infinito); ter uma assíntota vertical.

Para ter uma assíntota vertical, basta respeitar a definição apresentada anteriormente.

Já para existir o limite, devemos ter que seus laterais são iguais.

Em outras palavras, temos que \lim_{x\to a} f(x) existe e é igual a L, quando ocorrer \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = L . Aqui não importa se L representa um número real fixo ou o conceito de infinito.

Por exemplo, para que \lim_{x\to a} f(x) exista e seja igual a +\infty, devemos ter \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = +\infty .

marcosmuscul escreveu:outra duvida é:
Em relação a uma função definida para x diferente de a.
se pela esquerda o limite é infinito negativo e pela esquerda é infinito positivo. Posso dizer que existe assíntota vertical?


Eu presumo que você quis dizer "(...) e pela direita é infinito positivo (...)".

Neste caso, observando a definição de reta assíntota, então a resposta é sim.

Mas note que neste caso, analisando a existência do limite, temos que o limite quando x tende para a não existe.

Por exemplo, na função f(x) = \dfrac{1}{x - 1} temos que:

(i) x = 1 é uma assíntota vertical;

(ii) Não existe \lim_{x\to 1} f(x) .

Observação

Eu gostaria de sugerir que você assista as videoaulas "03. Cálculo I - Limites Laterais" e "05. Cálculo I - Limites Infinitos". Elas estão disponíveis na página do meu projeto:

http://www.lcmaquino.org/

Eu espero que essas videoaulas possam lhe ajudar a entender melhor os conceitos.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}