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Dúvida - limite

Dúvida - limite

Mensagempor Danilo » Seg Abr 08, 2013 21:58

Resolver \lim_{x\rightarrow{1}^{+}}\frac{\sqrt[]{{x}^{2}-1}}{1-x}

e quero saber por que eu errei. Encontrei o limite de valor 2 mas na verdade é -\infty .

Fiz assim:
\lim_{x\rightarrow{1}^{+}}\frac{\sqrt[]{{x}^{2}-1}}{1-x} =



\lim_{x\rightarrow{1}^{+}}\frac{{\left(x+1 \right) \left(x-1 \right)}}{{\left(1-x \right)}^{2}}  =


\lim_{x\rightarrow{1}^{+}} \frac{\left(x+1 \right) \left((x-1 \right)}{\left(x-1 \right)} = 

2

onde foi que eu errei?
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Re: Dúvida - limite

Mensagempor LuizAquino » Seg Abr 08, 2013 22:37

Danilo escreveu:Resolver \lim_{x\rightarrow{1}^{+}}\frac{\sqrt[]{{x}^{2}-1}}{1-x}

e quero saber por que eu errei. Encontrei o limite de valor 2 mas na verdade é -\infty .

Fiz assim:
\lim_{x\rightarrow{1}^{+}}\frac{\sqrt[]{{x}^{2}-1}}{1-x} =



\lim_{x\rightarrow{1}^{+}}\frac{{\left(x+1 \right) \left(x-1 \right)}}{{\left(1-x \right)}^{2}}  =


\lim_{x\rightarrow{1}^{+}} \frac{\left(x+1 \right) \left((x-1 \right)}{\left(x-1 \right)} = 

2

onde foi que eu errei?


Imagine, por exemplo, que você tem a fração \frac{\sqrt{2}}{5}.

Em seguida, suponha que você eleve ao quadrado o numerador e o denominador desta fração, ficando então com \frac{2}{25}.

Agora responda: a fração \frac{\sqrt{2}}{5} é igual a \frac{2}{25} ?

A partir da sua resposta a esta pegunta, tente entender o seu erro no desenvolvimento deste limite.

Eu aproveito para dar uma dica: para resolver esse limite, comece multiplicando o numerador e o denominador por \sqrt{x^2 - 1} .
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Re: Dúvida - limite

Mensagempor Danilo » Qua Abr 10, 2013 22:43

Imagine, por exemplo, que você tem a fração \frac{\sqrt{2}}{5}.

Em seguida, suponha que você eleve ao quadrado o numerador e o denominador desta fração, ficando então com \frac{2}{25}.

Agora responda: a fração \frac{\sqrt{2}}{5} é igual a \frac{2}{25} ?

A partir da sua resposta a esta pegunta, tente entender o seu erro no desenvolvimento deste limite.

Eu aproveito para dar uma dica: para resolver esse limite, comece multiplicando o numerador e o denominador por \sqrt{x^2 - 1} .[/quote]

Entendi professor, Obrigado !
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}