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Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor netochaves » Qui Abr 04, 2013 18:04

Uma caixa d’agua no formato de um cilindro circular reto de raio r e altura h será construída em cima de um prédio onde o teto tem formato de um cone de revolução com raio R e altura H, conforme a figura abaixo.

A figura é um cilindro circular reto inscrito num cone reto. Onde o r e o h são o raio e a altura do cilindro e o R e H o raio e altura do cone.
Colocando valores como exemplo para a formula : R vale 5 m, e H vale 12 m.

encontrar as dimensões de r (em função de R e H) que maximiza a área total da superfície da caixa d’ água (inclusive a base inferior).

Questões:
Tem como solucionar a situação sem a aplicação das derivadas?

Qual as dimensões de r (em função de R e H) que maximiza a área total da superfície da caixa d’ água (inclusive a base inferior)?

Qual a solução gráfica para a questao?
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Re: Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor young_jedi » Qui Abr 04, 2013 20:02

utilizando semelhanças de triangulos temos que

\frac{12}{5}=\frac{12-h}{r}

h=12-\frac{12r}{5}

então agora vamos calcular a area superficial do cilindro

a area lateral sera

A_l=2.\pi.r.h

A_l=2.\pi.r.\left(12-\frac{12r}{5}\right)

A_l=24.\pi.r-\frac{24r^2}{5}\right)


a area da base superior e inferior sera

A_b=A_B=\pi.r^2

sendo assim a area total sera

A=2\pi.r^2+24.\pi.r-\frac{24r^2}{5}

A=-\frac{14r^2}{5}+24\pi.r

esta é a função de uma parabola com a concavidade voltada para baixo portanto seu valor maximo esta no vertice da parabola, tente proseguir apartir daqui
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Re: Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor Russman » Qui Abr 04, 2013 20:53

Amigo young_jedi, acredito que você tenha se confundido na obtenção da área lateral como função de r. Você esqueceu de levar o /pi com a fração.
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Re: Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor young_jedi » Qui Abr 04, 2013 21:10

é verdade, foi erro de digitação tem um \pi multiplicadno

A_l=24\pi.r-\frac{24\pi.r^2}{5}


portanto a area total é

A=-\frac{14\pi.r^2}{5}+24\pi.r

valeu ai Russman
Editado pela última vez por young_jedi em Sex Abr 05, 2013 15:14, em um total de 1 vez.
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Re: Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor netochaves » Sex Abr 05, 2013 14:54

Mas gostaria de saber como ficaria a resolução sem adotar valores para R e H, como ficaria as equações ?
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Re: Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor young_jedi » Sex Abr 05, 2013 15:24

é so colocar as constante R e H no lugar dos numeros
utilizando semelhanças de triangulos temos que

\frac{H}{R}=\frac{H-h}{r}

h=H-\frac{H.r}{R}

então agora vamos calcular a area superficial do cilindro

a area lateral sera

A_l=2.\pi.r.h

A_l=2.\pi.r.\left(H-\frac{H.r}{R}\right)

A_l=2.H.\pi.r-\frac{2.\pi.H.r^2}{R}\right)


a area da base superior e inferior sera

A_b=A_B=\pi.r^2

sendo assim a area total sera

A=2\pi.r^2+2.H.\pi.r-\frac{2.\pi.H.r^2}{R}

A=\left(1-\frac{H}{R}\right).2\pi.r^2+2.\pi.H.r

esta é a função de uma parabola com a concavidade voltada para baixo portanto seu valor maximo esta no vertice da parabola, tente proseguir apartir daqui
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Re: Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor netochaves » Sex Abr 05, 2013 17:41

Muito obrigado, agora gostaria de saber como ficaria usando a derivada da função, e o gráfico ficará mesmo uma parábola voltada para baixo né?
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Re: Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor young_jedi » Sex Abr 05, 2013 18:10

utilizando a derivada
é so pegar essa expressão da area e derivar com relação a r e igular a 0

o grafico é sim uma parabola, mais o fato dela ser para cima ou para baixo, vai depender dos valores de R e H
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Re: Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor netochaves » Qua Mai 01, 2013 04:59

Mas a questao nao esta pedindo pra colocar r (em funcao de R e H) ?
ou seja essa equacao h= H-H.r/R nao teria que isolar o r, em vez de h?
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Re: Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor young_jedi » Qua Mai 01, 2013 11:24

o exercicio pede para encontrar o valor de que maximize o valor da area sendo este calculado em função de H e R

como voce tem a função da area A em função do raio r sendo esta uma parabola, voce tem que o valor maximo de area sera no vertice da parabola então temos que

A=\left(1-\frac{H}{R}\right)2\pi.r^2+2\pi.H.r

então o r no vertice da parabola sera

r=-\frac{2\pi.H}{2.\left(1-\frac{H}{R}\right)2\pi}

r=\frac{H}{2\left(1-\frac{H}{R}\right)}

r=\frac{HR}{2\left(H-R\right)}
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Re: Cilindro circular reto inscrito num cone reto

Mensagempor netochaves » Qua Mai 01, 2013 16:31

ah tah, é o X d vertice né? Xv= -b/2a

é essa mesma a resposta, agora gostaria de saber as situacoes quando :
se H<2R, se H=2R e H>2R , só falta isso para terminar
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Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)