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por netochaves » Qui Abr 04, 2013 18:04
Uma caixa d’agua no formato de um cilindro circular reto de raio r e altura h será construída em cima de um prédio onde o teto tem formato de um cone de revolução com raio R e altura H, conforme a figura abaixo.
A figura é um cilindro circular reto inscrito num cone reto. Onde o r e o h são o raio e a altura do cilindro e o R e H o raio e altura do cone.
Colocando valores como exemplo para a formula : R vale 5 m, e H vale 12 m.
encontrar as dimensões de r (em função de R e H) que maximiza a área total da superfície da caixa d’ água (inclusive a base inferior).
Questões:
Tem como solucionar a situação sem a aplicação das derivadas?
Qual as dimensões de r (em função de R e H) que maximiza a área total da superfície da caixa d’ água (inclusive a base inferior)?
Qual a solução gráfica para a questao?
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netochaves
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por young_jedi » Qui Abr 04, 2013 20:02
utilizando semelhanças de triangulos temos que
então agora vamos calcular a area superficial do cilindro
a area lateral sera
a area da base superior e inferior sera
sendo assim a area total sera
esta é a função de uma parabola com a concavidade voltada para baixo portanto seu valor maximo esta no vertice da parabola, tente proseguir apartir daqui
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por Russman » Qui Abr 04, 2013 20:53
Amigo
young_jedi, acredito que você tenha se confundido na obtenção da área lateral como função de
. Você esqueceu de levar o
com a fração.
"Ad astra per aspera."
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por young_jedi » Qui Abr 04, 2013 21:10
é verdade, foi erro de digitação tem um \pi multiplicadno
portanto a area total é
valeu ai Russman
Editado pela última vez por
young_jedi em Sex Abr 05, 2013 15:14, em um total de 1 vez.
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por netochaves » Sex Abr 05, 2013 14:54
Mas gostaria de saber como ficaria a resolução sem adotar valores para R e H, como ficaria as equações ?
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por young_jedi » Sex Abr 05, 2013 15:24
é so colocar as constante R e H no lugar dos numeros
utilizando semelhanças de triangulos temos que
então agora vamos calcular a area superficial do cilindro
a area lateral sera
a area da base superior e inferior sera
sendo assim a area total sera
esta é a função de uma parabola com a concavidade voltada para baixo portanto seu valor maximo esta no vertice da parabola, tente proseguir apartir daqui
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por netochaves » Sex Abr 05, 2013 17:41
Muito obrigado, agora gostaria de saber como ficaria usando a derivada da função, e o gráfico ficará mesmo uma parábola voltada para baixo né?
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netochaves
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por young_jedi » Sex Abr 05, 2013 18:10
utilizando a derivada
é so pegar essa expressão da area e derivar com relação a r e igular a 0
o grafico é sim uma parabola, mais o fato dela ser para cima ou para baixo, vai depender dos valores de R e H
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por netochaves » Qua Mai 01, 2013 04:59
Mas a questao nao esta pedindo pra colocar r (em funcao de R e H) ?
ou seja essa equacao h= H-H.r/R nao teria que isolar o r, em vez de h?
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por young_jedi » Qua Mai 01, 2013 11:24
o exercicio pede para encontrar o valor de que maximize o valor da area sendo este calculado em função de H e R
como voce tem a função da area A em função do raio r sendo esta uma parabola, voce tem que o valor maximo de area sera no vertice da parabola então temos que
então o r no vertice da parabola sera
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por netochaves » Qua Mai 01, 2013 16:31
ah tah, é o X d vertice né? Xv= -b/2a
é essa mesma a resposta, agora gostaria de saber as situacoes quando :
se H<2R, se H=2R e H>2R , só falta isso para terminar
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