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Determinar as condições

Determinar as condições

Mensagempor Douglas16 » Sáb Mar 30, 2013 13:16

Determinar as condições para as constantes a, b, p e qq tal que

f\left(x \right)=\frac{\left(px+q \right)sen\left(2x \right)}{ax+b} satisfaça \lim_{x\rightarrow0} f(x)=2 e \lim_{x\rightarrow\propto} f(x)=0.

Minha solução inacabada:

Desde que :
\lim_{x\rightarrow0} f(x)=2 portanto b=0 e;

\lim_{x\rightarrow0} \frac{\left(px+q \right)sen\left(2x \right)}{ax}=2, portanto a=q=2, portanto f\left(x \right)=\frac{\left(px+2 \right)sen\left(2x \right)}{2x} e;

de \lim_{x\rightarrow\propto} sen\left(2x \right)= indeterminado, só sei que devo eliminar esta indeterminação, só não sei como.
Editado pela última vez por Douglas16 em Dom Mar 31, 2013 03:54, em um total de 1 vez.
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Re: Determinar as condições

Mensagempor e8group » Sáb Mar 30, 2013 15:33

Pensei assim ,

(1)

\lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{(px-q)sin(2x)}{x}}{\dfrac{ax+b}{x}} = \lim_{x\to\infty} \frac{(p-\dfrac{q}{x})sin(2x)}{a + \dfrac{b}{x}}

Conclusões :

(1.a) q/x e b/x tendem a zero quando x \to +\infty .

(1.b) sin(2x) está oscilando entre -1 e 1 (limite indefinido ) quando x \to +\infty

(1.c) (1.a) + (1.b) implica \lim_{x\to\infty} f(x) = 0 \iff as parcelas que estão no numerador vão a zero ,isto acontece \iff p = 0 e a \neq 0 .


(2)

\lim_{x\to0} f(x) \frac{q \cdot sin(2x)}{ax + b} = q \lim_{x\to0}\frac{\dfrac{sin(2x)}{2x}}{\dfrac{ax+b}{2x}} = 2 \cdot q \lim_{x\to0}  \frac{\dfrac{sin(2x)}{2x}}{a + \dfrac{b}{x}}

Conclusões :

(2.a) Pelo limite fundamental trigonométrico \lim_{x\to0} \frac{sin(2x)}{2x} =1 .

(2.b) Como \lim_{x\to0} f(x) é finito e é igual a 2, temos que b = 0 pois caso contrário , b/x tenderia \infty e f(x) a zero [pois q \neq 0 ](que não é o caso ) .

(3.b) De b = 0 concluímos que \lim_{x\to0} f(x) = 2 \iff a = q = 1 .


Em resumo :

a = 1 , q = 1, p = 0 , b = 0 .



Poderia por favor confirma se está certo ?
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Re: Determinar as condições

Mensagempor Douglas16 » Sáb Mar 30, 2013 16:14

Então, eu estava a resolver também, e o que me impedia de finalizar era a condição para o limite de f(x) quando x tende ao infinito, pois mesmo que o valor de p seja constante (ou seja finito) e mesmo que considerasse tal valor igual a zero, ainda assim eu teria a seguinte indeterminação: 0*\propto (quando p =0), agora quanto ao restante dos valores das outras constantes eu só não estou com tempo de analisar sua resolução, pois tenho que ir trabalhar agora e se Deus quiser só volto depois de 23:59 hs de hoje, ou seja amanhã por volta das 00:30.
Mas também suspeito que não haja erro na sua resolução, pelo motivo de que a indeterminação pode ser resolvida se este caso ou tipo de situação algébrica permitir.
Mas agradeço se deixar um esclarecimento para o meu erro em relação a definição da indeterminação se caso ele estiver errado ou se estiver correto também agradeço o seu comentário.
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Re: Determinar as condições

Mensagempor Douglas16 » Dom Mar 31, 2013 03:33

voltei.
Quanto a indeterminação, por se tratar de uma expressão em construção, eu posso admitir o valor de p=0, mas quanto aos valores de a e q, eu posso admitir tanto a=q=2 ou a=q=1.
Se eu estiver errado me corrija.
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Re: Determinar as condições

Mensagempor e8group » Dom Mar 31, 2013 09:59

Sim , e ainda podemos generalizar ,tomar a = q = t ,  t\in \mathbb{R^*} = \mathbb{R}\setminus\{0\} = (-\infty ,0)\cup (0,+\infty) .
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D