[Integral] Arco tangente

por **KleinIll** » Seg Mar 25, 2013 13:27

$\int_{}^{}\frac{dy}{{y}^{2}+1}$

Resultado: ${tan}^{-1}\left(y \right)$

Por favor, alguém pode explicar com detalhes pelo menos o princípio básico da resolução desta integral?

por **marinalcd** » Seg Mar 25, 2013 18:36

Seja x = arctg y, então: y = tg x

Derivando implicitamente em relação a y, temos que:

$1 = {sec}^{2}x . \frac{dx}{dy} \rightarrow \frac{dx}{dy} = \frac{1}{{sec}^{2}}$

${sec}^{2}x = \frac{1}{{cos}^{2}x} = 1 + {tg}^{2}x$

e $1 + {tg}^{2}x = 1 + \frac{{sen}^{2}x}{{cos}^{2}x} = \frac{{cos}^{2}x + {sen}^{2}x}{{cos}^{2}x} = \frac{1}{{cos}^{2}x}$

Portanto $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1 + {tg}^{2}x}$

Como tg x = y : $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{1+{y}^{2}}$

Ou seja, é a função cuja a derivada é o arctg y.

Espero que tenha entendido!

Se continuar com dúvidas poste aqui.

Abraços

por **KleinIll** » Seg Mar 25, 2013 19:07

Obrigado!

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