Integrais Imediatas

por **mayconf** » Qua Mar 20, 2013 17:29

$\int_{}^{}\sqrt[]{x}\left(x+\frac{1}{x} \right)dx$

galera to com duvida de como resolver essa integral alguém pode me explica passo a passo? Obg

por **nakagumahissao** » Qua Mar 20, 2013 18:07

$\int_{}^{}\sqrt[]{x}\left(x+\frac{1}{x} \right)dx$

Resolução:

Tomemos:
$u = \sqrt{x} \Rightarrow du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$ e

$x = u^{2}$ ,

$dx = 2 \sqrt{x} du \Rightarrow dx = 2udu$

Substituindo na Integral original tem-se:

$\int_{}^{}u\left(u^{2} + \frac{1}{u^{2}} \right)2u du =$

$= \int_{}^{}2u^{2}\left(u^{2} + \frac{1}{u^{2}} \right) du = \int_{}^{}2u^{4} + 2 du = \int_{}^{}2u^{4} du + \int_{}^{}2 du =$

$\frac{2u^{5} }{5}+ 2u + C$

Mas:

$u = \sqrt{x}$ ,

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$\frac{2u^{5}}{5} + 2u + C = \frac{2 (\sqrt{x})^{5}}{5} + 2\sqrt{x} + C =$

$= \frac{2x^{2} \sqrt{x}}{5} + 2\sqrt{x} + C =$

$= \sqrt{x} \left(\frac{2x^{2} }{5} + 2 \right) + C$

Derivando esta ultima expressão, teremos a equação inicial. Acredito que seja isto!

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