• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Integral] Volume de Esfera

[Integral] Volume de Esfera

Mensagempor klueger » Ter Mar 19, 2013 13:58

Não sei deduzir esta fórmula... alguém pode ajudar?

O volume de um esfera de raio R é dado por V = \frac{4}{3}.pi.r^3.

Com o estudo de integrais podemos provar que realmente esta fórmula do volume é verdadeira, basta pensar que uma esfera de raio R é gerada pela rotação em torno do eixo x da circunferência x^2+y^2=r^2.

Sendo assim usando os conceitos de volume de sólido de revolução prove a fórmula do volume da esfera
klueger
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 19
Registrado em: Dom Fev 03, 2013 15:43
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Civil
Andamento: cursando

Re: [Integral] Volume de Esfera

Mensagempor e8group » Ter Mar 19, 2013 17:06

Solução :

x^2 + y^2 = r \iff y^2 = r^2 - x^2   , - r \leq   x \leq r .

V = \pi \int_{-r}^r y^2 dx = 2\pi \int_{0}^r(r^2 - x^2) dx


Tente concluir ...
e8group
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1400
Registrado em: Sex Jun 01, 2012 12:10
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Elétrica
Andamento: cursando

Re: [Integral] Volume de Esfera

Mensagempor nakagumahissao » Ter Mar 19, 2013 17:13

Resolução:

Demonstração:

Considere uma circunferência definida por:

x^{2} + y^{2} = r^{2}

Considere ainda, que iremos 'rotacionar' em torno do eixo x apenas a parte do círculo situada no primeiro quadrante do gráfico, ou seja:

y  = \sqrt[]{r^{2} - x^{2}} e x =[0, r]

Como rotacionaremos apenas a parte do círculo do nosso primeiro quadrante, após termos calculado o volume da figura rotacionada no gráfico, teremos então que multiplicá-lo por 2 para termos o volume total. Desta maneira:

V = 2\pi\int_{0}^{r} \left[\sqrt[]{r^{2} - x^{2}} \right]^{2} dx = 2\pi\int_{0}^{r} r^{2} - x^{2} dx =
= 2\pi \left( \int_{0}^{r} r^{2} dx - \int_{0}^{r} x^{2} dx \right) = 2\pi\left(r^{3} - \frac{r^{3}}{3} \right) =
= 2\pi \left(\frac{3r^{3} - r^{3}}{3} \right)
V = \frac{4\pi r^{3}}{3}

Como queríamos demonstrar.
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
nakagumahissao
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 386
Registrado em: Qua Abr 04, 2012 14:07
Localização: Brazil
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Lic. Matemática
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 46 visitantes

 



Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: