Taxa de variação, URGENTE!!

por **manuoliveira** » Qua Fev 27, 2013 18:55

Dois lados de um triângulo têm comprimentos a = 4cm e b = 3cm, mas estão crescendo a uma taxa de 1 cm/s. Se a área do triângulo permanece constante, a qual taxa está variando o ângulo alfa entre a e b quando alfa = pi/6.

Agradeço desde já quem puder ajudar!

por **Russman** » Qua Fev 27, 2013 20:15

Primeiramente, você deve estabelecer a relação entre a área do triângulo, seus lados conhecidos e o angulo entre eles. Existe a fórmula

$S = \frac{1}{2}ab \sin (\alpha )$

onde

é a área,

e

os lados conhecidos e $\alpha$ o ângulo entre eles.

Diferenciando a fórmula com relação a

, obtemos

$\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t} = \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( ab\sin \left ( \alpha \right ) \right ) = \frac{1}{2}\left [ \frac{\mathrm{d} (ab)}{\mathrm{d} t}\sin \left ( \alpha \right )+\cos \left ( \alpha \right ).\frac{\mathrm{d}\alpha }{\mathrm{d} t}ab \right ]$ .

Como a área é constante, temos $\frac{\mathrm{d}S }{\mathrm{d} t} = 0$ . Isolando, então, a taxa de variação de $\alpha$ aplicando a regra $\frac{\mathrm{d} (ab)}{\mathrm{d} t} = a\frac{\mathrm{d} b}{\mathrm{d} t}+b\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t}$ obtemos, finalmente

$\frac{\mathrm{d} \alpha }{\mathrm{d} t} = -\tan \left ( \alpha \right )\left [ \frac{1}{b}\frac{\mathrm{d} b}{\mathrm{d} t}+\frac{1}{a}\frac{\mathrm{d} a}{\mathrm{d} t} \right ]$

Agora, substitua os valores dos lados, das taxas de crescimento e o valor do angulo que você obterá a taxa de variação desse angulo. (:

por **manuoliveira** » Qui Fev 28, 2013 09:04

Obrigada!!!

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