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[Limite] limite trigonométrico quando x tende ao infinito

[Limite] limite trigonométrico quando x tende ao infinito

Mensagempor Ge_dutra » Seg Jan 28, 2013 10:13

Tenho dúvida em como achar o seguinte limite:

\lim_{x\to\infty} cosx. sen\left( \frac{\sqrt[]{x+1}-\sqrt[]{x}}{x}\right)

Poderiam me ajudar a resolver?

Desde já, obrigada!
Ge_dutra
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Re: [Limite] limite trigonométrico quando x tende ao infinit

Mensagempor e8group » Ter Jan 29, 2013 00:20

Boa noite .
Veja que \frac{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} . Porém o limite só ocorrerá quando x \to + \infty devido ao domínio da função .


Assim , \lim_{x\to +\infty} cos(x) sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty}  sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right )

Como \lim_{x\to +\infty}  sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right )  = sin(0) = 0 .

Então : \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty}  sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right )  = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot 0  = 0
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Re: [Limite] limite trigonométrico quando x tende ao infinit

Mensagempor Ge_dutra » Ter Jan 29, 2013 14:20

santhiago escreveu:Boa noite .
Veja que \frac{\sqrt{x+1} -\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} . Porém o limite só ocorrerá quando x \to + \infty devido ao domínio da função .


Assim , \lim_{x\to +\infty} cos(x) sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right ) = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty}  sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right )

Como \lim_{x\to +\infty}  sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right )  = sin(0) = 0 .

Então : \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot \lim_{x\to +\infty}  sin\left(\frac{1}{x(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})} \right )  = \lim_{x\to +\infty} cos(x) \cdot 0  = 0



Muito Obrigada, entendi perfeitamente!
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.