[CONVERGENCIA E SOMA] Somatorio com eq de 2o grau

por **lucas7** » Seg Dez 24, 2012 18:18

Determine se a serie converge e, se convergir, encontre sua soma.

$\sum_{k=1}^{\infty}1/(9k^2+3k-2)$

Eu sei que converge, pois fazendo o teste de mao as parcelas vao diminuindo, a soma seria 1/10 + 1/40 + 1/81...
mas nao sei como descobrir a soma, parece ser uma serie telescopica.

Agradeco muito se alguem puder me ajudar e explicar.

ps:A soma deve dar 4/7!

Abracos e feliz natal!

por **young_jedi** » Seg Dez 24, 2012 20:47

pensei no seguinte

$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{9k^2+3k-2}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{9}.\frac{1}{k^2+\frac{k}{3}-\frac{2}{9}}$

$=\frac{1}{9}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+\frac{k}{3}-\frac{2}{9}}$

$=\frac{1}{9}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(k-\frac{1}{3})(k+\frac{2}{3})}$

$=\frac{1}{9}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k-\frac{1}{3}}-\frac{1}{k+\frac{2}{3}}$

$=\frac{1}{9}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k-\frac{1}{3}}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+\frac{2}{3}}\right)$

$=\frac{1}{9}\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3}{3k-1}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3}{3k+2}\right)$

desenvolvendo as somas

$\frac{1}{9}\left[\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{5}+\frac{3}{8}+\frac{3}{11}\dots\right)-\left(\frac{3}{5}+\frac{3}{8}+\frac{3}{11}\dots\right)\right]$

podemos ver que apartir do segundo termo do primeiro pareneteses ele se cancela com os termos do outro parenteses então sobra

$\frac{1}{9}.\frac{3}{2}=\frac{1}{6}$

não bateu com a respostas que voce deu, tenta dar uma conferida na minha resolução pra ver se tem um erro ou veja o gabarito se não é um erro no gabarito

e feliz natal!!